Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=1．

（2）解：①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

解得： ．

所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x+3．

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4．

∴D（1，4）

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴線段DE=4﹣2=2，

線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

由﹣m2+3m=2，

解得：m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．

因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，

由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S△BPF+S△CPF

即S= PFBM+ PFOM= PF（BM+OM）= PFOB．

∴S= ×3（﹣m2+3m）=﹣ m2+ m（0≤m≤3）．

∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），

∴ ，

∴ ，

∵∠DEC=∠COB=90°，

∴△DEC∽△COB，

∴∠DCE=∠CBO，

∴∠DCE+∠OCB=90°，

∴DC⊥BC，

∴△BCD的外接圓圓心M為BD中點(diǎn)，

∴MX= =2，MY= =2，

∴△BCD的外接圓圓心M（2，2）

【解析】（1）與x軸交點(diǎn)令y=0,解方程即可，與y軸交點(diǎn)，令x=0，求出y即可，對(duì)稱軸可套公式x=；（2）若四邊形PEDF為平行四邊形，可得PF∥DE,PF=ED,用m的代數(shù)式表示PF，等于DE的長(zhǎng)，構(gòu)建方程即可；（3）用分割的方法把三角形面積分成S△BPF+S△CPF，分別用m的代數(shù)式表示底邊和高即可.