Question

【題目】觀察下列式子，并完成后面的問題

（1）

（2）．

你能利用上述關系式計算

（3）利用(1)、(2)得到的結論，計算等于多少?并寫出你是怎樣得到的

Answer 1

【答案】（1）；（2）24200；（3）19747，見解析

【解析】

（1）觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)自然數的立方和等于自然數的個數的平方乘比個數大1的數的平方，再除以4；

（2）將原式變形為（2×1）3+（2×2）3+（2×3）3+（2×4）3+…+（2×10）3=8×（13+23+33+43+…+103），再套用（1）中公式計算可得；

（3）由（1）得13+23+33+43+…+203=×202×212=44100，由（2）得23+43+63+83+…+203=8××102×112=24200，兩式相減從而得出13+33+53+73+…+193，再減去13+33+53，即可得答案．

解：（1）∵13=×12×22，

13+23=×22×32，

13+23+33=×32×42，

∴13+23+33+…+（n-1）3+n3=×n2×（n+1）2；

（2）原式=（2×1）3+（2×2）3+（2×3）3+（2×4）3+…+（2×10）3

=8×（13+23+33+43+…+103）

=8××102×112

=24200；

（3）由（1）知13+23+33+43+…+203=×202×212=44100，

由（2）知，23+43+63+83+…+203=8××102×112=24200，

∴13+33+53+73+…+193=44100-24200=19900，

又∵13+33+53=1+27+125=153，

∴73+93+…+193=1990019747．