Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)C，BC與AD的延長線相交于E，且AD⊥
PD，垂足為D．
（1）求證：AB=AE；
（2）若△ABE是等邊三角形，求AB：BP的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可連接OC，通過證明OC是三角形ABE的中位線，得出OC是AE的一半，根據(jù)AB是直徑，OC是半徑，那么AB=2OC，從而得出AE=AB；
（2）由△ABE是等邊三角形，易得△OBC是等邊三角形，繼而可證得△PBC是等腰三角形，可證得BC=BP=OC，即可求得AB：BP的值．
解答：（1）證明：連接OC，
∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PD；
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD；
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OC=AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OC=AB，
∴AB=AE．

（2）解：∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，OC=BC，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠PCB=∠OBC-∠P=30°，
∴∠PCB=∠P，
∴BC=BP，
∴BP=OC，
∴AB：BP=2：1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．