Question

設a，b，c為互不相等的非零實數(shù)，求證：方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0不可能都有兩個相等的實數(shù)根．

Answer 1

分析：用反證法求解；先設三個方程都有兩個相等的實數(shù)根，則三個方程的△=0，經過推導得出與已知互相矛盾，從而證明原結論成立．

解答：證明：假設題中的三個方程都有兩個相等的實數(shù)根，不妨設這三個方程的根的判別式為△₁，△₂，△₃，
則有

△1=4b2-4ac=0 ① △2=4c2-4ab=0 ② △3=4a2-4bc=0 ③

．
由①+②+③得：a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
有2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a=b=c，這與已知a，b，c為互不相等的非零實數(shù)矛盾，
故題中的三個方程不可能都有兩個相等的實數(shù)根．

點評：考查根的判別式，學習反證法的應用．