Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上，是否存在一點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
（4）點Q是直線BC上的一個動點，若△QOB為等腰三角形，請寫出此時點Q的坐標．（可直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線上三點的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）已知了B、C的坐標可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（3）由于三角形ABC和三角形PAB的面積相等，根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比，可得出P點縱坐標的絕對值．可將其代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．
（4）本題分三種情況，如下圖：
①OQ=QB，此時Q在OB的垂直平分線上，因此Q點橫坐標為B點橫坐標的一半，然后可代入直線BC的解析式中求出Q點坐標．
②OQ=OB，此時可根據(jù)直線BC的解析式設出Q點坐標，然后用坐標系兩點間距離公式表示出OQ的長，然后根據(jù)OB的長求出Q點坐標．
③OB=BQ，解法同②．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
已知拋物線過C（0，3），則有：
3=a（0+1）（0-4），a=-
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+3

（2）設直線BC的解析式為y=kx+3，
已知直線BC過B（4，0），則有：
4k+3=0，k=-
∴直線BC的函數(shù)解析式為y=x+3

（3）存在一點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積
∵△ABC的底邊AB上的高為3
設△PAB的高為h，則|h|=3，則點P的縱坐標為3或-3
∴當3=-x²+x+3時，
得x=0，x=3；
∴點P的坐標為（0，3），（3，3），而點（0，3）與C點重合，故舍去．
當-3=-x²+x+3，
得x=，x=
∴點P的坐標為：P₁（3，3），P₂（，-3），P₃（，-3）

（4）Q₁（2，），Q₂（，），Q₃（，），Q₄（，）．
點評：本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識．