解:(1)把x=0,y=0代入y=-x
2+bx+c,得c=0.
再把x=n,y=0代入y=-x
2+bx,
得-n
2+bn=0.
∵n>0,
∴b=n.
∴y=-x
2+nx=-(x-

)
2+

,
∴y的最大值為

.
,(2)∵拋物線頂點為(

,

),
把x=

代入y=x
2=

,
∴拋物線的頂點在函數(shù)y=x
2的圖象上.
(3)當(dāng)x=2時,y=2n-4,
∴點N為(2,2n-4).
當(dāng)n=2時,P、N兩點重合,△NPO不存在.
當(dāng)n>2時,解

n(2n-4)=1,得n=1±

.
∵n>2,
∴n=1+

.
當(dāng)0<n<2時,解

n(4-2n)=1,得n
1=n
2=1.
∴n=1+

或n=1時,△NPO的面積為1.
(4)3≤n≤4.
分析:(1)把拋物線經(jīng)過的兩個點O點和P點的坐標代入解析式就可以求出c、b的值,從而也就可以求出拋物線的解析式,再化為頂點式就可以求出對稱軸和最大值.
(2)通過(1)的解析式表示出拋物線的頂點式,再代入y=x
2的解析式,就可以證明拋物線的頂點在y=x
2上.
(3)由點A、點D的坐標可以表示出N的坐標,再根據(jù)n的取值范圍和三角形的面積建立等量關(guān)系求出n的值.
(4)由拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD(含邊界),分別把A(2,2),B(3,2),C(3,3),D(2,3)中的橫、縱坐標代入拋物線解析式y(tǒng)=-x
2+nx,得n=3;n=

;n=4;n=

.因此,n的取值范圍是3≤n≤4.
點評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及三角形面積公式的運用.