Question

如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接CE，AF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AB=

3

，BC=3，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AC，與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可得OA=OC，OB=OD，再利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，然后求出OE=OF，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形證明；
（2）利用勾股定理求出BD長(zhǎng)，再求出△ABE和△ABD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BE的長(zhǎng)度，從而得到DE、AE的長(zhǎng)，然后求出EF的長(zhǎng)，在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出CE．

解答：（1）證明：如圖，連接AC，與BD相交于點(diǎn)O，
在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF AB=CD ∠AEB=∠CFD=90°

，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形）；

（2）解：∵AB=

3

，BC=3，
∴BD=

AB2+BC2

=

3 2+32

=2

3

，
∵∠ABE=∠DBA，∠AEB=∠DAB=90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴

AB

BD

=

BE

AB

=

AE

AD

，
即

3

2 3

=

BE

3

=

AE

3

，
解得，BE=

3

2

，AE=

3

2

，
∴EF=BD-2BE=2

3

-

3

2

×2=

3

，
CF=AE=

3

2

，
在Rt△CEF中，CE=

EF2+CF2

=

3 2+( 3 2 )2

=

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，綜合題題，但難度不大，作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．