Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，等腰三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，∠ABO=30°，點(diǎn)C在y軸上．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為                    ；
（2）點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′在x軸上，AP=1，在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，在y軸上找到一點(diǎn)M，使PM+BM的值最小，則這個(gè)最小值為         ．

Answer 1

(1)（0，3）或（0，-1）；（2）理由見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：（1）先確定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=，在y軸上符合條件的有兩點(diǎn)C1和C2，求出即可；
（2）根據(jù)AP=AO=1，得出P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是O點(diǎn)，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；
（3）作出B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接PB′即可得出M點(diǎn)的位置，求出PB′長(zhǎng)即可．
試題解析:（1）符合條件的有兩點(diǎn)，以A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，交y軸于C₁、C₂點(diǎn)，

∵A（0，1），
∴OA=1，
∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2，OB=，
即AC₁=AC₂=2，
∴OC₁=1+2=3，OC₂=2-1=2，
∴C的坐標(biāo)是（0，3）或（0，-1），
（2）P的坐標(biāo)是（， ），
理由是：過(guò)P作PQ⊥x軸于Q，
∵OA=1，AP=1，AO⊥x軸，
∴x軸和以A為圓心，以1為半徑的圓相切，
∵AP=1，
∴P在圓上，
∵點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′在x軸上，AP=1，
∴P′點(diǎn)和O重合，如圖：

∵P和P′關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，
∴PP′⊥AB，PC=P′C，
由三角形面積公式得：S_△AOB=AO×OB=AB×CO，
∴×1=2OC，
∴OC=，
∴PP′=2OC=，
∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，
∴∠POB=60°，
∴PQ=OP×sin60°= ，OQ=OP×cos60°=，
即P的坐標(biāo)是（，）；
（3）作B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接PB′交y軸于M，則M為所求，

∵OB=，
∴OB′=，
即BB′=2，
∵PQ=，
∴由勾股定理得：PB′=，
∴PM+BM=PM+B′M=PB′=．
考點(diǎn): 1.軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3.等腰三角形的性質(zhì).