Question

如圖，矩形ABCD中，EF為過BD的中點(diǎn)O的一條直線，與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F．
（1）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請說明理由；
（2）在第（1）問的條件下，若AB=6cm，BC=8cm，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形為菱形證明即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．

解答：解：（1）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形，
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∵EF為過BD的中點(diǎn)O的一條直線，
∴EO=FO，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴EO=FO，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形；
（2）∵四邊形BEDF是菱形，
∴BE=BF=DE=DF，
設(shè)DE=x，則AE=AD-DE=8-x，
在Rt△ABE中，
6²+（8-x）²=x²，
解得：x=

25

4

，
∴DE=

25

4

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)．