精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AE=EB,AF=FC,有一同學(xué)發(fā)現(xiàn)EF與BC存在以下關(guān)系:EF∥BC,且EF=
12
BC.
(1)請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)來說明上述關(guān)系成立的理由.
(2)如圖:在(1)的結(jié)論下,過BC、EF作直線,過A作BC的平行線.將AC向左平移到DC,得到圖②,將AC向右平移到DC,得到圖③.在圖②和圖③中猜想線段EF與線段AD、BC的關(guān)系,請(qǐng)把你猜想的結(jié)論填在圖下的方框內(nèi),并說明理由.
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分析:(1)延長(zhǎng)EF到點(diǎn)D,使FD=EF,然后利用邊角邊定理證明△AEF與△CDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DC,對(duì)應(yīng)角相等可得∠D=∠AEF,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得CD∥AB,從而證明四邊形BCDE是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證;
(2)圖②中,根據(jù)(1)的結(jié)論可得EG∥BH且EG=
1
2
BH,再根據(jù)平移可知四邊形ADCH是平行四邊形,且FG∥BC,從而得到FG=
1
2
(AD+CH),最后根據(jù)EF=EG-FG整理即可得解;
圖③中,同理可得EF=EG+FG,然后整理即可得解.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)理由如下:延長(zhǎng)EF到點(diǎn)D,使FD=EF,
在△AEF與△CDF中,
AF=FC
∠AFE=∠DFC
EF=FD
(對(duì)頂角相等)
,
∴△AEF≌△CDF(SAS),
∴AE=DC,∠D=∠AEF,
∴CD∥AB,
∵AE=EB,
∴DE=EB,
∴四邊形BCDE是平行四邊形,
∴ED∥BC,且ED=BC,
∴EF∥BC,且EF=
1
2
BC;

(2)如圖②所示,根據(jù)(1)得,EG∥BC,且EG=
1
2
BH,
根據(jù)題意得,AD∥BC,CD∥AH,
∴四邊形ADCH是平行四邊形,
∵EG∥BC,
∴FG=
1
2
(AD+CH),
∴EF=EG-FG=
1
2
BH-
1
2
(AD+CH)=
1
2
(BH-CH)-
1
2
AD=
1
2
(BC-AD);
如圖③所示,根據(jù)(1)得,EG∥BC,且EG=
1
2
BH,精英家教網(wǎng)
根據(jù)題意得,AD∥BC,CD∥AH,
∴四邊形ADCH是平行四邊形,
∵EG∥BC,
∴FG=
1
2
(AD+CH),
∴EF=EG+FG=
1
2
BH+
1
2
(AD+CH)=
1
2
(BH+CH)+
1
2
AD=
1
2
(BC+AD).
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形中位線的證明,以及三角形中位線定理的拓廣,作出輔助線找出中位線EF的2倍長(zhǎng)度,構(gòu)造出平行四邊形并進(jìn)行證明四邊形BCDE是平行四邊形是解決本題的關(guān)鍵.
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜邊的中點(diǎn),向斜邊作垂線,畫出一個(gè)新的等腰三角形,如此繼續(xù)下去,直到所畫出的直角三角形的斜邊與△ABC的BC重疊,這時(shí)這個(gè)三角形的斜邊為
( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是(  )

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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,且∠A=100°,∠B=
 
度.

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長(zhǎng)是
16
cm.

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