Question

（2013•莆田質(zhì)檢）如圖，一次函數(shù)y=-

1

3

x+2的圖象分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，延長PC交反比例函數(shù)y=

k

y

(x＞0)的圖象于點(diǎn)Q，且tan∠OAQ=

1

3

．連接OP、OQ，四邊形OQAP的面積為6．
（1）求k的值；
（2）判斷四邊形OQAP的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AQ，先利用一次函數(shù)的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），根據(jù)正切的定義得tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，則∠BAO=∠OQA，而PQ⊥OA，根據(jù)等腰三角形“三線合一”得到CP=CQ，再利用四邊形OQAP的面積為6可計(jì)算出PQ=2，所以CQ=1，然后在Rt△CAQ中，利用正切的定義可得到AC=3，于是OC=3，這樣可確定Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），最后把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可計(jì)算出k的值；
（2）由于OC=AC=3，CP=CQ=1，PQ⊥AO，則可根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形為菱形進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）連結(jié)AQ，如圖，把x=0代入y=-

1

3

x+2得y=2；把y=0代入y=-

1

3

x+2得-

1

3

x+2=0，解得x=6，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，
∵tan∠OAQ=

1

3

，
∴∠BAO=∠OQA，
∵PQ⊥OA，
∴CP=CQ，
∵四邊形OQAP的面積為6，
∴

1

2

PQ•OA=6，即

1

2

PQ•6=6，
∴PQ=2，
∴CQ=1，
在Rt△CAQ中，tan∠CAQ=

CQ

CA

=

1

3

，
∴CA=3，
∴OC=6-3=3，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），
把Q（3，-1）代入y=

k

x

得k=3×（-1）=-3；

（2）四邊形OQAP為菱形．理由如下：
∵OC=AC=3，CP=CQ=1，
而PQ⊥AO，
∴四邊形OQAP為菱形．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和菱形的判定方法；熟練運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行幾何計(jì)算．