Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，BD的垂直平分線分別與AB，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，在線段BC上取一點(diǎn)G，使CG=CD．
（1）若不增加其他的點(diǎn)，以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形．
能構(gòu)成菱形的四個(gè)頂點(diǎn)是______或______；
能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)是______或______．
（2）請(qǐng)你選擇（1）中的一個(gè)四邊形加以證明．

Answer 1

解：（1）構(gòu)成菱形的四個(gè)頂點(diǎn)是B，E，D，F(xiàn)或E，D，C，G；
構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)是B，E，D，C或E，D，G，F(xiàn)；
故答案為：B，E，D，F(xiàn)；E，D，C，G；B，E，D，C；E，D，G，F(xiàn)；

（2）①∵EF垂直平分BD，
∴EF⊥BD，BE=DE，BF=DF，
∴∠3=∠4=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
在△BET和△BFT中，
，
∴△BET≌△BFT，
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四邊形BEDF是菱形；

②∵菱形BEDF，
∴ED∥BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴四邊形EDCB是菱形；

③∵等腰梯形EDCB，
∴BE=CD，
∵ED=BE，CD=CG，
∴ED=CG，
∵ED∥BC，
∴四邊形EDCG是平行四邊形，
∵CD=CG，
∴四邊形EDCG是菱形；

④∵菱形BEDF，EDCG，
∴BE=BF，CD=CG，
∵BE=CD，
∴BF=CG，
∵∠ABC=∠ACB，
∴△BEF≌△CDG，
∴EF=DG，
∵ED∥BC，
∴四邊形EDGF是等腰梯形．
分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知，容易得出構(gòu)成菱形的四個(gè)頂點(diǎn)和構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)；
（2）以四邊形BEDF是菱形為例，根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，可證得△BET≌△BFT，即可得出四邊形BEDF是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形和菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握其性質(zhì)，是正確解答的關(guān)鍵．