Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數(shù)關系式及點C的坐標；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，
∴，
解得：，
∴y=x²﹣x+3；
∴點C的坐標為：（0，3）；
（2）當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°，
∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A點坐標為（3，0），
∴D點的坐標為：（0，3），
∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=﹣1，
∴y=﹣x+3，
∴y=x²﹣x+3=﹣x+3，
∴x²﹣3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3或0（不合題意舍去），
∴P點坐標為（0，3），
當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°，
由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，∴DF=4，
∴D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），
∴直線AD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=﹣1，
∴y=﹣x+5，
∴y=x²﹣x+3=﹣x+5，
∴x²﹣3x﹣4=0，
解得：x₁=﹣1，x₂=4，
∴y₁=6，y₂=1，
∴P點坐標為（﹣1，6），（4，﹣1），
∴點P的坐標為：（﹣1，6），（4，﹣1），（0，3）；
（3）作EM⊥BO，
∵當OE∥AB時，△FEO面積最小，
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直線CA上，
∴E點坐標為（x，﹣x+3），
∴x=﹣x+3，
解得：x=，
∴E點坐標為（，）．

解析