Question

如圖，△ABC是等邊三角形，∠B、∠C的平分線相交于點O，OM∥AC，ON∥AB，分別交BC于點M、N，求證：BN=MN=MC．

Answer 1

證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OM∥AC，ON∥AB，
∴∠ONM=∠ABC=60°，∠OMN=∠ACB=60°，
∴∠MON=60°，
∴△OMN是等邊三角形，
∴ON=OM=MN，
又∵ON∥AB，BO平分∠ABC，
∴∠2=∠3，∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴ON=BN，
同理OM=MC，
∴BN=MN=MC．
分析：由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，再由ON與AB平行，OM與AC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ONM=∠ABC=60°，∠OMN=∠ACB=60°，可得出三角形OMN三內角相等，即三角形OMN為等邊三角形，得出三邊相等，再由BO為角平分線得到一對角相等，ON平行于AB得到一對內錯角相等，等量代換及等角對等邊得到ON=BN，同理得到OM=MC，等量代換得到BN=MN=MC，得證．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等腰三角形的性質，利用了轉化及等量代換的思想，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．