Question

如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內接三角形、內接四邊形、內接五邊形，點M、N分別從點B、C開始，以相同的速度中⊙O上逆時針運動．

（1）求圖①中∠APB的度數(shù)；
（2）圖②中，∠APB的度數(shù)是______，圖③中∠APB的度數(shù)是______；
（3）根據前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∠APB=120°
圖1：∵點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：∠APB=90°；∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多邊形的外角度數(shù)，故在圖n中，．
分析：根據對頂角相等和三角形內角和外角的關系解答即可．
點評：此題是一道規(guī)律探索題，體現(xiàn)了探索發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律：通過計算得出特殊多邊形中的角∠APN的度數(shù)，然后得出n邊形的∠APN的度數(shù)．