Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+(m-1)x+m(m>1)與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0,3）.

（1）求拋物線的解析式；
（2）點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點F在直線AD上方的拋物線上，F(xiàn)G⊥AD于G，F(xiàn)H//x軸交直線AD于H，求△FGH的周長的最大值；
（3）點M是拋物線的頂點，直線l垂直于直線AM，與坐標軸交于P、Q兩點，點R在拋物線的對稱軸上，得△PQR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，求直線l的解析式.

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點C（0,3）代入拋物線y=-x2+(m-1)x+m(m>1)，

得m=3，

則拋物線y=-x2+2x+3.

（2）

解：拋物線y=-x2+2x+3的對稱軸為直線x=1,

由點D和點C（0，3）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

所以D（2,3）.

由拋物線y=-x2+2x+3，令y=0時，-x2+2x+3=0，解得x1=-1,x2=3.

則A（-1,0），B（3,0），

由A（-1,0），D（2,3），設直線AD為y=kx+b,

代入得 ，解得

則直線AD為y=x+1,

則∠DAB=45°，

因為FH//x軸，

所以∠FHG=∠DAB=45°，

又因為FG⊥AD，

所以FG=GH= .

即當FH的長最長時，△FGH的周長的最大值，

設F（x, -x2+2x+3）,則H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），

則FH=-x2+2x+2-x=-x2+x+2=-（x- ）2+ ,

當x= 時，F(xiàn)H有最大值為 ，

所以△FGH的周長的最大值為2× × + = + .

（3）

（3）∵拋物線y=-x2+2x+3的頂點坐標為（1，4），

∴直線AM的解析式為y=2x+2，

∵直線l垂直于直線AM，

∴設直線l的解析式為y=- x+b，

∵與坐標軸交于P、Q兩點，

∴直線l的解析式為y=- x+b與y軸的交點P（0，b），與x軸的交點Q（2b，0），

設R（1，a），

∴PR2=（-1）2+（a-b）2，QR2=（2b-1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，

∵△PQR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，

∴PR2=QR2，即（-1）2+（a-b）2=QR2=（2b-1）2+a2，

∴-2a=3b-4，①

∴PR2+QR2=PQ2，

即（-1）2+（a-b）2+（2b-1）2+a2=5b2，

∴2a2-2ab-4b+2=0，②

聯(lián)立①②解得：

，

∴直線l的解析式為y= x+ 或y= x+2．

【解析】（1）拋物線y=-x2+(m-1)x+m(m>1)中只有一個未知數(shù)m，則只需要將C（0,3）代入即可求得m；
2）求△FGH的周長的最大值，則不能用軸對稱-最短路徑的方法；求出A，D的坐標，及直線AD的解析式，可發(fā)現(xiàn)∠DAB=45°，根據(jù)平行可得∠FHG=∠DAB=45°，則FG=GH= .把求△FGH的周長的最大值，轉(zhuǎn)化成求FH長的最大值，可設F（x, -x2+2x+3）,根據(jù)FH//x軸，H在直線AD上得H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），寫出FH關(guān)于x的關(guān)系式，并在x的取值范圍內(nèi)，即-1<x<3，求出FH的最大值即可；
3）求得直線AM的解析式為y=2x+2，根據(jù)直線l垂直于直線AM，由兩條直線垂直可得斜率之積為-1，可設直線l的解析式為y= x+b，得到直線l的解析式為y= x+b與y軸的交點P（0，b），與x軸的交點Q（2b，0），設R（1，a），根據(jù)勾股定理及PR=QR列方程即可得到結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．