Question

如圖1，四邊形ABCD，將頂點為A的角繞著頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，角的一條邊與DC的延長線交于點F，角的另一邊與CB的延長線交于點E，連接EF．
（1）如果四邊形ABCD為正方形，當∠EAF=45°時，有EF=DF-BE．請你思考如何證明這個結(jié)論（只需思考，不必寫出證明過程）；
（2）如圖2，如果在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，當∠EAF=

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2

∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式（只需寫出結(jié)論）；
（3）如圖3，如果在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠ADC互補，當∠EAF=

1

2

∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)學關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析：（1）（2）（3）的解題思路一致，都是通過兩步全等來實現(xiàn)；在DF上截取DM=BE，第一步，首先證△ADM≌△ABE，得DF=BE；第二步，證△AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得到DF、EF、BE的數(shù)量關(guān)系．
（4）根據(jù)前三問的結(jié)論知：EF=DF-BE，那么△CEF的周長可轉(zhuǎn)化為：EF+BE+BC+FC=DF+BC+FC，即可得解．

解答：解：（1）證明：在DF上截取DM=BE；
∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM；
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF，得EF=FM，
∵DF=DM+FM，
∴DF=BE+EF，即EF=DF-BE．

（2）EF=DF-BE．（解法參照（1）（3））

（3）EF=DF-BE．
證明：在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，
∴AD=AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，
∴∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=

1

2

∠BAD，
∴∠MAF=

1

2

∠BAD，
∴∠EAF=∠MAF；
∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF；
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE．

（4）由上面的結(jié)論知：DF=EF+BE；
∴△CEF的周長=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15．
即△CEF的周長為15．

點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，通過兩步全等來證得關(guān)鍵的兩組線段相等是此題的基本思路．