已知:如圖,三個(gè)半圓彼此相外切,它們的圓心都在x軸的正半軸上并與直線(xiàn)y=
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x相切,設(shè)半圓C1、半圓C2、半圓C3…的半徑分別是r1、r2、r3…,則當(dāng)r1=1時(shí),則r2012=( 。
分析:設(shè)三個(gè)半圓與直線(xiàn)OC分別相切于A、B、C點(diǎn),分別連接圓心與切點(diǎn),根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到三個(gè)直角三角形,再由直線(xiàn)OC的方程得到直線(xiàn)的傾斜角為30°,根據(jù)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半得到OC1=2C1A,0C2=2C2B,0C3=2C3C,再由三半圓彼此外切,得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加,得出r1、r2、r3間的關(guān)系,由r1的值可得出r2、r3的值,按照此規(guī)律可歸納出r2012的值.
解答:
解:連接C1A,C2B,C3C,
∵三半圓都與直線(xiàn)OC相切,
∴C1A⊥OA,C2B⊥OB,C3C⊥OC,
又∵三個(gè)半圓依次與直線(xiàn)y=
3
3
x相切并且圓心都在x軸上,
∴y=
3
3
x的傾斜角是30°,
又∵三半圓彼此相外切,
∴OC1=2C1A=2r1,0C2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2,0C3=2C3C=OC1+r1+2r2+r3=2r3
∴2r2=3r1+r2,
∴r2=3r1
∵r1=1=30,∴r2=3=31,
∴OC1=2,0C2=2r2=6r1=6,0C3=18,
∴r3=9=32,
∴按此規(guī)律歸納得:rn=3n-1,
則r2012=32011
故選A
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩圓相切的性質(zhì),切線(xiàn)的性質(zhì),含30°直角三角形的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì),兩圓了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想,鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力,其中當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓的圓心距等于兩半徑之和;兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓圓心距等于兩半徑之差,熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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x相切,設(shè)半圓C1、半圓C2、半圓C3…的半徑分別是r1、r2、r3….,則當(dāng)r1=1時(shí),則r2012=
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