已知：?ABCD的對角線交于點O，點P是直線BD上任意一點（異于B、O、D三點），過P點作平行于AC的直線，交直線AD于E，交直線AB于F．
（1）若點P在線段BD上（如圖所示），試說明：AC=PE+PF；
（2）若點P在BD或DB的延長線上，試探究AC、PE、PF滿足的等量關系式（只寫出結(jié)論，不作證明）．

【答案】分析：（1）先判定四邊形AFGC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)知AC=FG；然后由被平行線所截的線段對應成比例（==）求出PE與PG的數(shù)量關系，解答到此，來證明AC=PE+PF的問題就迎刃而解了．
（2）推理類同于（1）．
解答：證明：（1）延長FP交DC于點G，
∵AB∥CD，AC∥FG，
∴四邊形AFGC是平行四邊形，
∴AC=FG（平行四邊形的對邊相等），
∵EG∥AC，
∴==（被平行線所截的線段對應成比例）；
又∵OA=OC，
∴PE=PG，
∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；

（2）若點P在BD延長線上，AC=PF-PE．如下圖所示

若點P在DB延長線上，AC=PE-PF．如下圖所示．
．
點評：本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

11、已知四邊形ABCD的四邊分別有a，b，c，d．其中a，c是對邊且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，則四邊形是（　�。�

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•路北區(qū)一模）已知正方形ABCD的邊長為4，E是CD上一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、BD、FD．
（1）BD與CF的位置關系是
平行
平行
．
（2）①如圖，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為
8
8
．
②如圖，當CE=2（即點E為CD中點）時，△BDF的面積為
8
8
．
③如圖，當CE=3時，△BDF的面積為
8
8
．
（3）如圖，根據(jù)上述計算的結(jié)果，當E是CD上任意一點時，請?zhí)岢瞿銓?img src="http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/11/671de963.png" style="vertical-align:middle;FLOAT:right;" />△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關系的猜想，并證明你的猜想．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1997•河北）命題：如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過點A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于點F，則OE=OF．
對上述命題證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
又∵AG⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．
∴∠1=∠2
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF
問題：對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變（如圖2），則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明現(xiàn)由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•保定一模）已知正方形ABCD的邊長為4，E是邊CD上的一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、FD、BD，則BD與CF的位置關系式
BD∥CF
BD∥CF
．
（1）如圖1，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為
8
8
；
（2）如圖2，當CE=2（即點E為CD的中點）時，△BDF的面積為
8
8
；
（3）如圖3，當CE=3時，△BDF的面積為
8
8
．

（4）如圖4，根據(jù)上述計算結(jié)果，當E是CD邊上任意一點時，請?zhí)岢瞿銓Α鰾DF面積與正方形ABCD的面積之間關系的猜想；并證明你的猜想．
（5）如圖5，若E是CD延長線上任意一點時，請你判斷（4）中的結(jié)論是否仍然成立．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列條件中能夠判斷有一組對邊平行的是（　　）

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