Question

已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE²=2（AD²+AB²），

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

Answer 1

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．

專題：

計(jì)算題．

分析：

①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形AEC全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=CE，本選項(xiàng)正確；

②由三角形ABD與三角形AEC全等，得到一對(duì)角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE，本選項(xiàng)正確；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°，本選項(xiàng)正確；

④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷．

解答：

解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

∵在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，本選項(xiàng)正確；

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

則BD⊥CE，本選項(xiàng)正確；

③∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°，

∵∠ABD=∠ACE

∴∠ACE+∠DBC=45°，本選項(xiàng)正確；

④∵BD⊥CE，

∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE²=BD²+DE²，

∵△ADE為等腰直角三角形，

∴DE=AD，即DE²=2AD²，

∴BE²=BD²+DE²=BD²+2AD²，

而BD²≠2AB²，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

綜上，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)．

故選C

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．