已知:如圖在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD,BE.以下四個(gè)結(jié)論:
①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
| A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
考點(diǎn):
全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形.
專題:
計(jì)算題.
分析:
①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得出三角形ABD與三角形AEC全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=CE,本選項(xiàng)正確;
②由三角形ABD與三角形AEC全等,得到一對(duì)角相等,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE,本選項(xiàng)正確;
③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°,本選項(xiàng)正確;
④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中,利用勾股定理列出關(guān)系式,等量代換即可作出判斷.
解答:
解:①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
∵在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,本選項(xiàng)正確;
②∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD+∠DBC=45°,
∴∠ACE+∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,
則BD⊥CE,本選項(xiàng)正確;
③∵△ABC為等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABD+∠DBC=45°,
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°,本選項(xiàng)正確;
④∵BD⊥CE,
∴在Rt△BDE中,利用勾股定理得:BE2=BD2+DE2,
∵△ADE為等腰直角三角形,
∴DE=AD,即DE2=2AD2,
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2,
而BD2≠2AB2,本選項(xiàng)錯(cuò)誤,
綜上,正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選C
點(diǎn)評(píng):
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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