Question

【題目】如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,∠A=90°.取一塊含45°角的直角三角尺,將直角頂點放在斜邊BC的中點O處,一條直角邊過點A(如圖1).三角尺繞點O順時針方向旋轉,使90°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB,AC分別相交于點E,F(如圖2).設BE=x,CF=y.

(1)探究:在圖2中,線段AE與CF有怎樣的大小關系?證明你的結論.

(2)求在上述旋轉過程中y與x的函數(shù)表達式,并寫出x的取值范圍.

(3)若將直角三角尺45°角的頂點放在斜邊BC邊的中點O處,一條直角邊過點A(如圖3).三角尺繞O點順時針方向旋轉,使45°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB,AC分別相交于點E,F(如圖4).在三角尺繞點O旋轉的過程中,△OEF是否能成為等腰三角形?若能,直接寫出△OEF為等腰三角形時x的值;若不能,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)AE=CF；(2) y=2-x（0≤x≤2）；(3)△OEF為等腰三角形時x的值為1或 或2.

【解析】試題分析：（1）首先得出，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，∠EOA=∠FOC，進而得出△EOA≌△FOC，即可得出答案；

（2）利用AE=CF，得出BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，即可得出答案；

（3）利用OE=EF時，點E為AB中點，點F與點A重合，當OE=OF時，BE=BO=CO=CF=，當EF=OF時，點E與點A重合，點F為AC中點，進而得出答案．

試題解析：（1）AE=CF，

理由：連接AO．如圖2，

∵AB=AC，點O為BC的中點，∠BAC=90°，

∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，

∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，

∴∠EOA=∠FOC，

在△EOA和△FOC中，

,

∴△EOA≌△FOC（ASA），

∴AE=CF；

（2）∵AE=CF，∴BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，

∴y與x的函數(shù)關系式：y=2-x，

x的取值范圍是：0≤x≤2；

（3）△OEF能構成等腰三角形．

當OE=EF時，如圖3，點E為AB中點，點F與點A重合，BE=AE=1，即x=1，

當OE=OF時，如圖4，BE=BO=CO=CF=，即x=，

當EF=OF時，如圖5，點E與點A重合，點F為AC中點，即x=2，

綜上所述：△OEF為等腰三角形時x的值為1或或2．