Question

（2011•歷城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=3，AB=4，D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE∥AC交BC于D，交AB于E，CF∥AB交直線DE于F．
（1）求證：△CFD∽△BAC；
（2）設(shè)CD=x，ED=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若四邊形EACF是菱形，求出DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知EF∥AC，則內(nèi)錯(cuò)角∠FDC=∠BCA；同理可根據(jù)CF∥AB證得∠B=∠FCD，則△BAC和△CDF中，兩組對(duì)應(yīng)角相等，即可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)相似三角形得出的對(duì)應(yīng)邊成比例線段，即可求出y、x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若四邊形EACF是菱形，則CF=AC=2；可用DE表示出DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）的相似三角形得出的關(guān)于DF、AC、CF、AB的比例關(guān)系式求出DE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵EF∥AC，
∴∠FDC=∠BCA（2分）
∵AE∥CF，
∴∠FCD=∠B
∴△CFD∽△BAC；（4分）

（2）∵EF∥AC，AE∥CF，
∴四邊形ACFE是平行四邊形；
∴EF=AC（5分）
∵△CFD∽△BAC，
∴（7分）
∴y=2-；（8分）

（3）四邊形ACFE是菱形，
∴CF=AC=2；（9分）
∵△CFD∽△BAC，
∴（10分）
∴DE=1．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)．