Question

如圖1，P是∠BAC平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D，以P為圓心，
PD為半徑作圓.
【小題1】AB與⊙P相切嗎？為什么？
【小題2】若平行于PD的直線MN與⊙P相切于T，并分別交AB、AC于M、N，設PD＝2，∠BAC＝60°，求線段MT的長(結果保留根號)．

 

Answer 1

【小題1】相切
【小題2】4－2或4＋2

解析考點：切線的判定與性質；含30度角的直角三角形；切線長定理。
分析：（1）利用角平分線的性質得出PD=PG，再利用切線的判定定理得出即可；
（2）結合已知畫出圖形，進而利用勾股定理得出MT即可。

解答：（1）相切，
證明：過點P作PG⊥AB于點G，
∵P是∠BAC平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D，
∴PD=PG，
∵以P為圓心，PD為半徑作圓，
∴PG=PD等于圓的半徑，
∴AB與⊙P相切。
（2）根據已知畫出圖形：

∵平行于PD的直線MN與⊙P相切于T，PD⊥AC，
∴MN⊥AN，TN=DN，MT=MG，AG=AD，
∵PD=2，∠BAC=60°，
∴∠PAD=30°，
∴PA=4，
∴AG=AD=2，
DN=NT=2，
設MT=MG=x，
∴AN²+MN²=AM²，
∴（2+2）²+（2+x）²=（x+2）²，
解得：x=4+2，
當如圖M′N′位置，設M′T′=y，即可得出：
∴（2-2）²+（2+y）²=（2-y）²，
解得：y=4-2，
∴線段MT的長為：4-2或4+2。
點評：此題主要考查了切線的性質定理與判定定理以及勾股定理的應用，根據已知畫出圖形得出AN2+MN2=AM2是解題關鍵。