Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=

1

2

AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出△PCD并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A與∠P是

BC

對(duì)的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到以O(shè)C所在直徑交AB的點(diǎn)上時(shí)，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
在△PCD和△ABC中，

∠P=∠A ∠PDC=∠ACB AB=PC

，
∴△PCD≌△ABC（AAS）；

（3）∵∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．