Question

小宇將兩張長(zhǎng)為8寬為2的矩形條交叉如圖①，發(fā)現(xiàn)重疊部分可能是一個(gè)菱形．
（1）請(qǐng)你幫助小宇證明四邊形ABCD是菱形．
（2）小宇又發(fā)現(xiàn)：如圖②時(shí)，菱形ABCD的周長(zhǎng)最小，等于

8

；
如圖③時(shí)菱形ABCD的周長(zhǎng)最大，求此時(shí)菱形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形；
（2）根據(jù)垂線段最短，當(dāng)兩紙條垂直放置時(shí)，菱形的周長(zhǎng)最小，邊長(zhǎng)等于紙條的寬度；
（3）當(dāng)菱形的一條對(duì)角線為矩形的對(duì)角線時(shí)，周長(zhǎng)最大，作出圖形，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示出BE=8-x，再利用勾股定理列式計(jì)算求出x，然后根據(jù)菱形的四條邊都相等列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵兩條紙條寬度相同（對(duì)邊平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF，
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四邊形ABCD是菱形；

解：（2）如圖②，當(dāng)兩紙條互相垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)最小，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)等于紙條的寬，為2，
所以，菱形的周長(zhǎng)=4×2=8．
故答案是：8；

（3）如圖③，菱形的一條對(duì)角線與矩形的對(duì)角線重合時(shí)，周長(zhǎng)最大，
設(shè)AB=BC=x，則BE=8-x，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²，
即x²=（8-x）²+2²，
解得x=

17

4

，
所以，菱形的周長(zhǎng)=4×

17

4

=17．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要利用了菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，判斷出周長(zhǎng)最小與最大時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．