Question

如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)M，有下面3個(gè)結(jié)論：
①射線BD是∠ABC的角平分線；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD．
（1）判斷其中正確的結(jié)論是哪幾個(gè)？
（2）從你認(rèn)為是正確的結(jié)論中選一個(gè)加以證明．

Answer 1

解：（1）正確的結(jié)論是①、②；

（2）若①正確，理由如下：
∵M(jìn)N是AB的中垂線，
∴DA=DB，
則∠A=∠ABD=36°，
又等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=72°，∴∠DBC=36°，
則BD是∠ABC的平分線；
若②正確，理由如下：
由①知：∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°，即∠C=∠BDC，
∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形．
分析：（1）正確的結(jié)論是①和②；
（2）若選擇①，根據(jù)MN為線段AB的中垂線，利用線段垂直平分線定理得到DA=DB，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ABD，由等腰三角形ABC及頂角的度數(shù)求出底角的度數(shù)，利用∠DBC=∠ABC-∠ABD求出∠DBC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠ABD=∠DBC，即BD為角平分線；
若選擇②，由①求出的∠C和∠DBC的度數(shù)，求出∠BDC的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)∠C=∠BDC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=BC，即三角形BCD為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)，要求學(xué)生借助圖形，熟練運(yùn)用定理及性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化的思想達(dá)到解決問題的目的．