Question

（2013•義烏市）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2）、（0，3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：
①當(dāng)x＞3時(shí)，y＜0；②3a+b＞0；③-1≤a≤-

2

3

；④3≤n≤4中，
正確的是（　�。�

A．①②

B．③④

C．①④

D．①③

Answer 1

分析：①由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，一個(gè)交點(diǎn)A（-1，0），得到另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象即可對(duì)于選項(xiàng)①作出判斷；
②根據(jù)拋物線開口方向判定a的符號(hào)，由對(duì)稱軸方程求得b與a的關(guān)系是b=-2a，將其代入（3a+b），并判定其符號(hào)；
③根據(jù)兩根之積

c

a

=-3，得到a=-

c

3

，然后根據(jù)c的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求a的取值范圍；
④把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到n=a+b+c=

4

3

c，利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍．

解答：解：①∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），對(duì)稱軸直線是x=1，
∴該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），
∴根據(jù)圖示知，當(dāng)x＞3時(shí)，y＜0．
故①正確；

②根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，則a＜0．
∵對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②錯(cuò)誤；

③∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴

c

a

=-3，則a=-

c

3

．
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在（0，2）、（0，3）之間（包含端點(diǎn)），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-

c

3

≤-

2

3

，即-1≤a≤-

2

3

．
故③正確；

④根據(jù)題意知，a=-

c

3

，-

b

2a

=1，
∴b=-2a=

2c

3

，
∴n=a+b+c=

4

3

c．
∵2≤c≤3，
∴

8

3

≤

4

3

c≤4，即

8

3

≤n≤4．
故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的說法有①③．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．