Question

（2000•武漢）若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為    cm．

Answer 1

【答案】分析：由于正方形的位置不確定要分兩種情況討論：①正方形有一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上，②正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上；①可設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，利用相似三角形的成比例線段求解；②可用正方形的邊長(zhǎng)表示出直角三角形的斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而可列方程求出正方形的邊長(zhǎng)．
解答：解：如圖；
Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理，得：
AC==5；
（1）如圖①，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則AD=3-x，CF=4-x；
易證得△ADE∽△EFC；
∴，即，解得x=；
即正方形的邊長(zhǎng)為；
（2）如圖②，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則AG=x，CF=x；
∴AC=AG+EF+CF=x+x+x=5，解得x=；
即正方形的邊長(zhǎng)為；
故這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為或cm．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．