Question

（2008•鄂州）（1）如圖，A₁，A₂，A₃是拋物線y=x²圖象上的三點(diǎn)，若A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3．求△A₁A₂A₃的面積．
（2）若將（1）問中的拋物線改為y=x²-x+2和y=ax²+bx+c（a＞0），其他條件不變，請(qǐng)分別直接寫出兩種情況下△A₁A₂A₃的面積．
（3）現(xiàn)有一拋物線組：y₁=x²-x；y₂=x²-x；y₃=x²-x；y₄=x²-x；y₅=x²-x；…依據(jù)變化規(guī)律，請(qǐng)你寫出拋物線組第n個(gè)式子y_n的函數(shù)解析式；現(xiàn)在x軸上有三點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（3，0）．經(jīng)過A，B，C向x軸作垂線，分別交拋物線組y₁，y₂，y₃，…，y_n于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．記為S₁，為S₂，…，為S_n，試求S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．
（4）在（3）問條件下，當(dāng)n＞10時(shí)有S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n的值不小于，請(qǐng)?zhí)角蟠藯l件下正整數(shù)n是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出此值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線解析式，求出A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖中幾何關(guān)系把所求三角形的面積，轉(zhuǎn)化為一個(gè)大梯形面積減去兩個(gè)小梯形的面積，從而求出三角形的面積．第二問與第一問解法一樣；
（3）由y₁，y₂…y₅的表達(dá)式，歸納出y_n的表達(dá)式，同時(shí)推出面積公式S_n，然后求和．
（4）由（3）的結(jié)論，先求和再求n是否存在最大值．
解答：解：（1）∵A₁（1，），A₂（2，1），A₃（3，），（1分）
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1ACA3-S_梯形A1ABA2-S_梯形A2BCA3=．
（3分）

（2）①，（4分）
②．（5分）

（3）由規(guī)律知：或?qū)懗桑?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/201310201203425769199696/SYS201310201203425769199026_DA/6.png">），（6分）
由（1）（2）知：S₁+S₂+S₃+…+S₁₀===．（8分）

（4）存在，
由上知：S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n===，（9分）
∵
∴，
∵n＞10，
∴n²-9n-10＞0，
∴n²-9n-10≤242，（10分）
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，（11分）
∴存在n的最大值，其值為n=21．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題是一道規(guī)律題，考查拋物線基本性質(zhì)，巧妙用幾何關(guān)系，求三角形面積，歸納出規(guī)律然后求和，最后一問探究正整數(shù)n是否存在最大值，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．