【題目】(1)敘述三角形中位線定理,并運用平行四邊形的知識證明;
(2)運用三角形中位線的知識解決如下問題:如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E、F分別是AB,CD的中點,求證:EF=(AD+BC)
(3)如圖2,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=900,AD=3,BC=4,CD=7,E是AB的中點,直接寫出點E到CD的距離.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)2.
【解析】
(1)作出圖形,寫出已知、求證,延長EF到D,使FD=EF,證明△AEF≌△CDF,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CD,全等三角形對應角相等可得∠D=∠AEF,再求出CE=CD,根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行判斷出AB∥CD,然后判斷出四邊形BCDE是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE∥BC,DE=BC;
(2)連接AF并延長,交BC延長線于點M,根據(jù)ASA證明△ADF≌△MCF,判斷EF是△ABM的中位線,根據(jù)三角形中位線定理即可得出結論;
(3)作DN⊥BC于N,連接DE并延長交CB的延長線于H,連接EC,證明CH=CD,根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠ECH=∠ECD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可.
(1)三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;
已知:△ABC中,點E、F分別是AB、AC的中點,
求證:EF∥BC,EF=BC,
證明:如圖,延長EF到D,使FD=EF,如圖所示:
∵點F是AC的中點,
∴AF=CF,
在△AEF和△CDF中,
,
∴△AEF≌△CDF(SAS),
∴AE=CD,∠D=∠AEF,
∴AB∥CD,
∵點E是AB的中點,
∴AE=BE,
∴BE=CD,
∴四邊形BCDE是平行四邊形,
∴DE∥BC,DE=BC,
∴DE∥BC,EF=BC;
(2)證明:連接AF并延長,交BC延長線于點M,如圖所示:
∵AD∥BC,
∴∠D=∠FCM,
∵F是CD中點,
∴DF=CF,
在△ADF和△MCF中,
,
∴△ADF≌△MCF(ASA)
∴AF=FM,AD=CM,
∴EF是△ABM的中位線,
∴EF∥BC∥AD,EF=BM=(AD+BC);
(3)解:作DN⊥BC于N,
則四邊形ABND為矩形,
∴AB=DN,BN=AD=3,
∴NC=1,
∴DN==4,
∴EB=AB=DN=2,
連接DE并延長交CB的延長線于H,連接EC,如圖所示:
∵E是AB的中點,
∴BH=AD=3,DE=EH,
∴CH=CB+BH=7,
∴CD=CH,又DE=EH,
∴∠ECH=∠ECD,EB⊥BC,EK⊥CD,
∴EK=EB=2.
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【題目】閱讀材料:
如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記p=,那么這個三角形的面積S=.這個公式叫“海倫公式”,它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式。中國的秦九韶也得出了類似的公式,稱三斜求積術,故這個公式又被稱為“海倫秦---九韶公式”完成下列問題:
如圖,在△ABC中,a=7,b=5,c=6.
(1)求△ABC的面積;
(2)設AB邊上的高為h1,AC邊上的高為h2,求h1 +h2的值
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【題目】春節(jié)前,安徽黃山腳下的小村莊的集市上,人山人海,還有人在擺“摸彩”游戲,只見他手拿一個黑色的袋子,內(nèi)裝大小、形狀、質(zhì)量完全相同的白球20只,且每一個球上都寫有號碼(1~20號)和1只紅球,規(guī)定:每次只摸一只球.摸前交1元錢且在1~20內(nèi)寫一個號碼,摸到紅球獎5元,摸到號碼數(shù)與你寫的號碼相同獎10元.
(1)你認為該游戲?qū)?/span>“摸彩”者有利嗎?說明你的理由.
(2)若一個“摸彩”者多次摸獎后,他平均每次將獲利或損失多少元?
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【題目】某校組織九年級學生參加漢字聽寫大賽,并隨機抽取部分學生成績作為樣本進行分析,繪制成如下的統(tǒng)計表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 | |
第1段 | x<60 | 2 | 0.04 |
第2段 | 60≤x<70 | 6 | 0.12 |
第3段 | 70≤x<80 | 9 | b |
第4段 | 80≤x<90 | a | 0.36 |
第5段 | 90≤x≤100 | 15 | 0.30 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a=______,b=______;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)樣本中,部分學生成績的中位數(shù)落在第_______段;
(4)已知該年級有400名學生參加這次比賽,若成績在90分以上(含90分)的為優(yōu),估計該年級成績?yōu)閮?yōu)的有多少人?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(﹣2,6),且與x軸相交于點B,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點C,點C的橫坐標為1.
(1)求k、b的值;
(2)若點D在y軸負半軸上,且滿足S△COD=S△BOC,求點D的坐標.
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【題目】已知,在矩形ABCD中,BC=2,連接BD,把△ABD繞點B順時針旋轉后得到△FBE,旋轉角度小于360°.
(1)如圖1,當點E在BC的延長線上,且直線EF過點D,求AB的長.
(2)若AB=4,如圖2,取AB邊的中點P,過點P作直線EF的垂線PH,垂足為H.
① 若PH交線段BD于點G,當△BPG為等腰三角形時,求BG的長;
② 直接寫出PH長的取值范圍.
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【題目】已知∠AOB=30°,點P在∠AOB的內(nèi)部,P1與P關于OA對稱,P2與P關于OB對稱,則△P1OP2是
A. 含30°角的直角三角形 B. 頂角是30的等腰三角形
C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形
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【題目】如圖所示,某水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD,壩頂寬CD=3m,斜坡AD=8m,斜坡BC的坡度i=1:3,B,C間的水平距離為12m,則斜坡AD的坡角∠A=_____,壩底寬AB=______m.
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【題目】如圖,用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設長方形地面,觀察下列圖形并解答問題.
(1)在第a個圖中,共有 塊白瓷磚和 塊黑瓷磚(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若按上圖的方式鋪一塊長方形地面共用了420塊瓷磚,求此時a的值;
(3)已知白瓷磚每塊6元,黑瓷磚每塊8元,某工廠按如圖方式鋪設廠房地面,其中黑瓷磚的費用比白瓷磚的費用多924元,問白瓷磚和黑瓷磚各用了多少塊?
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