如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣3.0)、C(0,4),點B在拋物線上,CB∥x軸,且AB平分∠CAO.
(1)求拋物線的解析式;
(2)線段AB上有一動點P,過點P作y軸的平行線,交拋物線于點Q,求線段PQ的最大值;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形?如果存在,求出點M的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)線段PQ的最大值為;
(3)符合要求的點M的坐標(biāo)為(,9)和(,﹣11).
解析試題分析:(1)如圖1,易證BC=AC,從而得到點B的坐標(biāo),然后運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,從而可以用t的代數(shù)式表示出PQ的長,然后利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)就可解決問題;
(3)由于AB為直角邊,分別以∠BAM=90°(如圖3)和∠ABM=90°(如圖4)進行討論,通過三角形相似建立等量關(guān)系,就可以求出點M的坐標(biāo).
試題解析:(1)如圖1,
∵A(﹣3,0),C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∵∠AOC=90°,
∴AC=5.
∵BC∥AO,AB平分∠CAO,
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.
∴BC=AC.
∴BC=5.
∵BC∥AO,BC=5,OC=4,
∴點B的坐標(biāo)為(5,4).
∵A(﹣3.0)、C(0,4)、B(5,4)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴
解得:
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)如圖2,
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,
∵A(﹣3.0)、B(5,4)在直線AB上,
∴
解得:
∴直線AB的解析式為y=x+.
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t(﹣3≤t≤5),則點Q的橫坐標(biāo)也為t.
∴yP=t+,yQ=﹣t2+t+4.
∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣(t+)
=﹣t2+t+4﹣t﹣
=﹣t2++
=﹣(t2﹣2t﹣15)
=﹣ [(t﹣1)2﹣16]
=﹣(t﹣1)2+.
∵﹣<0,﹣3≤1≤5,
∴當(dāng)t=1時,PQ取到最大值,最大值為.
∴線段PQ的最大值為;
(3)①當(dāng)∠BAM=90°時,如圖3所示.
拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣=.
∴xH=xG=xM=.
∴yG=×+=.
∴GH=.
∵∠GHA=∠GAM=90°,
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM.
∵∠AHG=∠MHA=90°,∠MAH=∠AGM,
∴△AHG∽△MHA.
∴.
∴.
解得:MH=11.
∴點M的坐標(biāo)為(,﹣11).
②當(dāng)∠ABM=90°時,如圖4所示.
∵∠BDG=90°,BD=5﹣=,DG=4﹣=,
∴BG=.
同理:AG=.
∵∠AGH=∠MGB,∠AHG=∠MBG=90°,
∴△AGH∽△MGB.
∴.
∴.
解得:MG=.
∴MH=MG+GH=+=9.
∴點M的坐標(biāo)為(,9).
綜上所述:符合要求的點M的坐標(biāo)為(
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今年,6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕,三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進價為2元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息,解答小華和小明提出的問題。
(1)小華的問題解答: ;
(2)小明的問題解答: 。
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某種上屏每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間滿足關(guān)系:y=ax2+bx﹣75.其圖象如圖.
(1)銷售單價為多少元時,該種商品每天的銷售利潤最大?最大利潤為多少元?
(2)銷售單價在什么范圍時,該種商品每天的銷售利潤不低于16元?
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如圖,已知直線過點和,是軸正半軸上的動點,的垂直平分線交于點,交軸于點.
(1)直接寫出直線的解析式;
(2)當(dāng)時,設(shè),的面積為,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;并求出S的最大值;
(3)當(dāng)點Q在線段AB上(Q與A、B不重合)時,直線過點A且與x軸平行,問在上是否存在點C,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求出點C的坐標(biāo),并證明;若不存在,請說明理由.
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如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的對稱軸為y軸,且經(jīng)過(0,0)和(,)兩點,點P在該拋物線上運動,以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2).
(1)求a,b,c的值;
(2)求證:在點P運動的過程中,⊙P始終與x軸相交;
(3)設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)兩點,當(dāng)△AMN為等腰三角形時,求圓心P的縱坐標(biāo).
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如圖,拋物線y=x2+mx+(m﹣1)與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,與y軸交于點C(0,c),且滿足x12+x22+x1x2=7.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上能不能找到一點P,使∠POC=∠PCO?若能,請求出點P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
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已知拋物線y=ax2+x+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,0)兩點,與y軸相交于點C,該拋物線的頂點為點M,對稱軸與BC相交于點N,與x軸交于點D.
(1)求該拋物線的解析式及點M的坐標(biāo);
(2)連接ON,AC,證明:∠NOB=∠ACB;
(3)點E是該拋物線上一動點,且位于第一象限,當(dāng)點E到直線BC的距離為時,求點E的坐標(biāo);
(4)在滿足(3)的條件下,連接EN,并延長EN交y軸于點F,E、F兩點關(guān)于直線BC對稱嗎?請說明理由.
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已知拋物線與x軸交點為A、B(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C.
(1)試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點B在原點的右側(cè),點C在原點的下方時,若是等腰三角形,求拋物線的解析式;
(3)已知一次函數(shù),點P(n,0)是x軸上一個動點,在(2)的條件下,過點P作垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M,交拋物線于點N,若只有當(dāng)時,點M位于點N的下方,求這個一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線與x軸的交點為A、D(A在D的右側(cè)),與y軸的交點為C.
(1)直接寫出A、D、C三點的坐標(biāo);
(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使得MD+MC的值最小,并求出點M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱的對稱點為B,在拋物線上是否存在點P,使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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