Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線的頂點(diǎn)P在直線y=﹣x+4上，與y軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)P、C不與點(diǎn)B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點(diǎn)P、D在y軸的同側(cè)．

（1）n= （用含m的代數(shù)式表示），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是 （用含m的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時(shí)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（3）設(shè)矩形BCDE的周長(zhǎng)為d（d＞0），求d與m之間的函數(shù)表達(dá)式．

（4）直接寫出矩形BCDE有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣m+4，﹣m2﹣m+4；（2）（3），（4）m=1、m=﹣1、、

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，n），又因?yàn)辄c(diǎn)p在直線y=﹣x+4上，將p點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出n，將二次函數(shù)化成一般式后得出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，并將其化成含m的代數(shù)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時(shí)，由CD=2可知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，可求得縱坐標(biāo)為2，則P（2，2），得出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）根據(jù)坐標(biāo)表示出邊BC的長(zhǎng)，由矩形周長(zhǎng)公式表示出d；

（4）首先點(diǎn)B與C不能重合，因此點(diǎn)B不會(huì)在拋物線上，則分兩類情況討論：①點(diǎn)C、D在拋物線上時(shí)；②點(diǎn)C、E在拋物線上時(shí)；由（1）的結(jié)論計(jì)算出m的值．

試題解析：（1）y=﹣（x﹣m）2+n=﹣x2+mx﹣m2+n，

∴P（m，n），

∵點(diǎn)P在直線y=﹣x+4上，

∴n=﹣m+4，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣m2+n=﹣m2﹣m+4，

即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為：﹣ m2﹣m+4，

故答案為：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；

（2）∵四邊形BCDE是矩形，

∴DE∥y軸．

∵CD=2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2．

∴DE與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．

∴當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．

∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．

（3）∵直線y=﹣x+4與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4）．

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，．

解得m1=0，m2=﹣3．

i）當(dāng)m＜﹣3或m＞0時(shí)，如圖①、②，

．．

ii）當(dāng)﹣3＜m＜0時(shí)，如圖③，．

．

（4）如圖④⑤，點(diǎn)C、D在拋物線上時(shí)，由CD=2可知對(duì)稱軸為：x=±1，即m=±1；

如圖⑥⑦，點(diǎn)C、E在拋物線上時(shí)，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）

則4=﹣（﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得：、．

綜上所述：m=1、m=﹣1、、．