【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+3 經(jīng)過點A(3,0),G(﹣1,0)兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)若點M時拋物線在第一象限圖象上的一點,求△ABM面積的最大值;
(3)拋物線的對稱軸交x軸于點P,過點E(0, )作x軸的平行線,交AB于點F,是否存在著點Q,使得△FEQ∽△BEP?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:將A、G點坐標代入函數(shù)解析式,得
,
解得 ,
拋物線的解析式為y=﹣ x2+2 x+3
(2)解:作ME⊥x軸交AB于E點,如圖1
,
當x=0時,y=3 ,即B點坐標為(0,3 )
直線AB的解析式為y=﹣ x+3 ,
設M(n,﹣ n2+2 n+3 ),E(n,﹣ n+3 ),
ME═﹣ n2+2 n+3 ﹣(﹣ n+3 )=﹣ n2+5 n,
S△ABM= MExA= (﹣ n2+5 n)×3=﹣ (n﹣ )2+ ,
當n= 時,△ABM面積的最大值是
(3)解:存在;理由如下:
OE= ,AP=2,OP=1,BE=3 ﹣ = ,
當y= 時,﹣ x+3 = ,解得x= ,即EF=
將△BEP繞點E順時針方向旋轉90°,得到△B'EC(如圖3),
∵OB⊥EF,
∴點B'在直線EF上,
∵C點橫坐標絕對值等于EO長度,C點縱坐標絕對值等于EO﹣PO長度,
∴C點坐標為(﹣ , ﹣1),
過F作FQ∥B'C,交EC于點Q,
則△FEQ∽△B'EC,
由 = = = ,
可得Q的坐標為(﹣ ,﹣ );
根據(jù)對稱性可得,Q關于直線EF的對稱點Q'(﹣ , )也符合條件.
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得ME的長,根據(jù)三角形的面積,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.(3)即可確定△BEP,根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標,解題時要注意答案的不唯一性.
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【題目】(1)計算:﹣12018﹣|﹣2|÷;
(2)先化簡,再求值:6ab﹣[2(a2+ab﹣)﹣3(a2﹣2ab+b2)﹣1],其中a=﹣1,b=.
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【題目】小亮房間窗戶的窗簾如圖1所示,它是由兩個四分之一圓組成(半徑相同)
(1)用代數(shù)式表示窗戶能射進陽光的面積是 .(結果保留π)
(2)當,b=1時,求窗戶能射進陽光的面積是多少?(取π≈3)
(3)小亮又設計了如圖2的窗簾(由一個半圓和兩個四分之一圓組成,半徑相同),請你幫他算一算此時窗戶能射進陽光的面積是否更大?如果更大,那么大多少?(結果保留π)
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【題目】現(xiàn)在,某商場進行促銷活動,出售一種優(yōu)惠購物卡(注:此卡只作為購物優(yōu)惠憑證不能頂替貨款),花300元買這種卡后,憑卡可在這家商場按標價的8折購物.
(1)顧客購買多少元金額的商品時,買卡與不買卡花錢相等?在什么情況下購物合算?
(2)小張要買一臺標價為3500元的冰箱,如何購買合算?小張能節(jié)省多少元錢?
(3)小張按合算的方案,把這臺冰箱買下,如果紅旗商場還能盈利25%,這臺冰箱的進價是多少元?
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【題目】如圖,已知∠A=∠F,∠C=∠D,試說明BD∥CE.
解:因為:∠A=∠F,
所以:_____//______,
理由是:____________,
所以:∠____+∠_____=180°,
理由是:_______________,
因為:∠C=∠D,
所以∠D+∠DEC=180°,
理由是:_________________,
所以:______________________.
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【題目】小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計如圖所示,關于這組數(shù)據(jù),下列說法錯誤的是( ).
A、眾數(shù)是6噸 B、平均數(shù)是5噸 C、中位數(shù)是5噸 D、方差是
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【題目】元旦放假時,小明一家三口一起乘小轎車去探望爺爺、奶奶和姥爺、姥姥.早上從家里出發(fā),向東走了5千米到超市買東西,然后又向東走了2.5千米到爺爺家,下午從爺爺家出發(fā)向西走了10千米到姥爺家,晚上返回家里.
(1)若以小明家為原點,向東為正方向,用1個單位長度表示1千米,請將超市、爺爺家和姥爺家的位置在下面數(shù)軸上分別用點A、B、C表示出來;
(2)超市和姥爺家相距多少千米?
(3)若小轎車每千米耗油0.08升,求小明一家從出發(fā)到返回家,小轎車的耗油量.
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【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,點D在AC上,CD=3厘米.點P、Q分別由A、C兩點同時出發(fā),點P沿AC方向向點C勻速移動,速度為每秒k厘米,行完AC全程用時8秒;點Q沿CB方向向點B勻速移動,速度為每秒1厘米.設運動的時間為x秒(0<x<8),△DCQ的面積為y1平方厘米,△PCQ的面積為y2平方厘米.
(1)求y1與x的函數(shù)關系,并在圖2中畫出y1的圖象;
(2)如圖2,y2的圖象是拋物線的一部分,其頂點坐標是(4,12),求點P的速度及AC的長;
(3)在圖2中,點G是x軸正半軸上一點0<OG<6,過G作EF垂直于x軸,分別交y1、y2的圖象于點E、F.
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義;
②當0<x<6時,求線段EF長的最大值.
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