Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+3 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），G（﹣1，0）兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)M時(shí)拋物線在第一象限圖象上的一點(diǎn)，求△ABM面積的最大值；
（3）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E（0， ）作x軸的平行線，交AB于點(diǎn)F，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、G點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+2 x+3

（2）解：作ME⊥x軸交AB于E點(diǎn)，如圖1

，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3 ，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3 ）

直線AB的解析式為y=﹣ x+3 ，

設(shè)M（n，﹣ n2+2 n+3 ），E（n，﹣ n+3 ），

ME═﹣ n2+2 n+3 ﹣（﹣ n+3 ）=﹣ n2+5 n，

S△ABM= MExA= （﹣ n2+5 n）×3=﹣ （n﹣ ）2+ ，

當(dāng)n= 時(shí)，△ABM面積的最大值是

（3）解：存在；理由如下：

OE= ，AP=2，OP=1，BE=3 ﹣ = ，

當(dāng)y= 時(shí)，﹣ x+3 = ，解得x= ，即EF=

將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3），

∵OB⊥EF，

∴點(diǎn)B'在直線EF上，

∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO﹣PO長(zhǎng)度，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ﹣1），

過(guò)F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，

則△FEQ∽△B'EC，

由 = = = ，

可得Q的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）；

根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q'（﹣ ， ）也符合條件．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得ME的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．（3）即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．