Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D．
（1）請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）求證：AD⊥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE為等腰三角形；由角平分線的性質(zhì)可知AE=DE，由此得到△AED為等腰三角形；同理可得△ABD為等腰三角形；
（2）BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對(duì)稱．可得出BE⊥AD．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠8=45°，
又∵DE⊥BC，
∴∠EDC=90°，∠7=∠8=45°，DE=DC，
故△DCE為等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分線，∠BAC=∠ACB=90°，
∴AE=DE，
故△ADE為等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△DBF，∠3=∠4，AB=BD，
故△ABD為等腰三角形．
故圖中所有的等腰三角形為△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共四個(gè)；

（2）AD⊥BE．
證明：∵BE為∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．
∴A、D是對(duì)稱點(diǎn)，
∴AD⊥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)及等量代換的應(yīng)用是正確解答本題的關(guān)鍵．