Question

（2013•靜安區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A（2，6）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥x軸，tan∠ACB=2，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形ACDE是平行四邊形，求邊CD的長．

Answer 1

分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，由A的坐標(biāo)可求出k的值，作AM⊥BC，垂足為M，交y軸于N，利用已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（6，2）再設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+2，把A和B的坐標(biāo)代入求出a和b的值即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，利用已知條件可證明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性質(zhì)可得：EH=AM=4，DH=CM=2，進(jìn)而求出點(diǎn)E（3，4），所以O(shè)E=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的長．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
∵點(diǎn)A（2，6）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴6=

k

2

，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

，
作AM⊥BC，垂足為M，交x軸于N，
∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x軸，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，2）．
當(dāng)x=2時(shí)，y=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（6，2）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+2，
則

6=4a+2b+2 2=36a+6b+2

，
解得

a=- 1 2 b=3.

，
故二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x2+3x+2；

（2）延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，
∵在平行四邊形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x軸，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
在△ACM和△EDH中

∠AMC=∠EHD ∠MCA=∠HDE AC=DE

∴△ACM≌△EDH，
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∵E點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=

12

x

圖象上，
∴x=3，
∴點(diǎn)E（3，4），
∴OH=3，OD=OH-DH=1，
∴CD=

OC2+OD2

=

22+12

=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．