Question

如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，F(xiàn)E交線段DC于點Q，F(xiàn)E的延長線交線段BC于點P，連結(jié)AP、AQ．
（1）求證：△ADQ≌△AEQ；
（2）求證：PQ=DQ+PB；
（3）當∠1=∠2時，求PQ的長．

Answer 1

（1）證明：∵ABCD是正方形，
∴∠G=∠AEF=90°，AD=AE，
∵在Rt△ADQ和Rt△AEQ中
，
∴△ADQ≌△AEQ（HL）；

（2）證明：與證△ADQ≌△AEQ類似，可證得：△AEP≌△ABP，
∴PB=PE，QD=QE，
∴PQ=QE+PE=DQ+PB；

（3）解：當∠1=∠2時，
∵∠D=∠C=90°，
∴Rt△ADQ∽Rt△PCQ，
∴∠AQD=∠PQC，
∵△ADQ≌△AEQ
∴∠AQD=∠AQE，
∴∠AQD=∠PQC=∠AQE，且∠AQD+∠AQE+∠PQC=180°，
∴∠AQD=60°，
∴∠1=30°
∴Rt△ADQ中，AD=3，DQ=，
∴QC=3-，
∵∠C=90°，∠PQC=60°，
∴∠2=30°，
∴PQ=2QC=6-2．
分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠G=∠AEF=90°，AD=AE，根據(jù)HL證出糧三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等求出DQ=QE，同理BP=PE，即可得出答案；
（3）求出Rt△ADQ∽Rt△PCQ，推出∠AQD=∠PQC=∠AQP，求出三角為60°，求出∠1和∠2度數(shù)，求出QD、CQ，即可求出答案．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力，題目綜合性比較強，難度偏大．