【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點C(0,3),與x軸分別交于點A,點B(3,0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達式;
(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請求出此時點P的坐標;
(3)當點P運動到什么位置時,四邊形ACPB的面積最大?求出此時P點的坐標和四邊形ACPB的最大面積.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(,)(3)當點P的坐標為(,)時,四邊形ACPB的最大面積值為
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分,可得P點的縱坐標,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得P點坐標;
(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得PQ的長,根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.
(1)將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式,得
解得
二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)若四邊形POP′C為菱形,則點P在線段CO的垂直平分線上,
如圖1,連接PP′,則PE⊥CO,垂足為E,
∵C(0,3),
∴
∴點P的縱坐標,
當時,即
解得(不合題意,舍),
∴點P的坐標為
(3)如圖2,
P在拋物線上,設P(m,﹣m2+2m+3),
設直線BC的解析式為y=kx+b,
將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式,得
解得
直線BC的解析為y=﹣x+3,
設點Q的坐標為(m,﹣m+3),
PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.
當y=0時,﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
OA=1,
S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
當m=時,四邊形ABPC的面積最大.
當m=時,,即P點的坐標為
當點P的坐標為時,四邊形ACPB的最大面積值為.
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【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.
(1)如圖1,若,點在、內(nèi)部, , ,求的度數(shù).
(2)如圖2,在AB∥CD的前提下,將點移到、外部,則、、之間有何數(shù)量關系?請證明你的結論.
(3)如圖3,寫出、、、之間的數(shù)量關系?(不需證明)
(4)如圖4,求出的度數(shù).
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【題目】矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,已知,點A在x軸上,點C在y軸上,P是對角線OB上一動點(不與原點重合),連接PC,過點P作,交x軸于點D.下列結論:①;②當點D運動到OA的中點處時,;③在運動過程中,是一個定值;④當△ODP為等腰三角形時,點D的坐標為.其中正確結論的個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】《九章算術》是中國古代數(shù)學專著,在數(shù)學上有其獨到的成就,不僅最早提到了分數(shù)問題,也首先記錄了“盈不足”等問題.如有一道闡述“盈不足”的問題,原文如下:今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何?譯文為:現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞,如果每人出9文錢,就會多11文錢;如果每人出6文錢,又會缺16文錢.問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少?請解答上述問題.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù)且k≠0)的圖象交于A(﹣1,a),B兩點,與x軸交于點C.
(1)求此反比例函數(shù)的表達式;
(2)若點P在x軸上,且S△ACP=S△BOC,求點P的坐標.
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【題目】八(1)班數(shù)學老師將本班某次參加的數(shù)學競賽成績(得分取整數(shù),滿分100分)進行整理統(tǒng)計后,制成如下的頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)在分數(shù)段70.5~80.5分的頻數(shù)、頻率分別是多少?
(2)m、n、的值分別是多少?
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【題目】如圖,已知拋物線(>0)與軸交于A,B兩點(A點在B點的左邊),與軸交于點C。
(1)如圖1,若△ABC為直角三角形,求的值;
(2)如圖1,在(1)的條件下,點P在拋物線上,點Q在拋物線的對稱軸上,若以BC為邊,以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求P點的坐標;
(3)如圖2,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點D,交軸交于點E,若AE:ED=1:4,求的值.
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【題目】如圖所示,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是( )
A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖,給出下列四個結論:①;②;③,④;其中正確結論是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
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