【題目】如圖①,若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線L1(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合),我們把這樣的兩拋物線L1L2稱為伴隨拋物線,可見一條拋物線的伴隨拋物線可以有多條.

(1)拋物線L1y=-x24x3與拋物線L2伴隨拋物線,且拋物線L2的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,求拋物線L2的表達(dá)式;

(2)若拋物線ya1(xm)2n的任意一條伴隨拋物線的表達(dá)式為ya2(xh)2k,請寫出a1a2的關(guān)系式,并說明理由;

(3)在圖②中,已知拋物線L1ymx22mx3m(m>0)y軸相交于點(diǎn)C,它的一條伴隨拋物線L2,拋物線L2y軸相交于點(diǎn)D,若CD4m,求拋物線L2的對稱軸.

【答案】(1)y(x4)232伴隨拋物線的頂點(diǎn)不重合,∴m≠h,a1=-a23拋物線L2的對稱軸為x±2.

【解析】試題分析:1)先分別求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),然后再利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;

2根據(jù):拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上,可以列出兩個(gè)方程,相加可得:(a1+a2 )(m-h2=0,可得a1=-a2;

3)易得拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4m),設(shè)拋物線L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h,則其縱坐標(biāo)為mh22mh3m,則有拋物線L2的表達(dá)式為y=-mx22mhx2mh3m,從而得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2mh3m),再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3m),從而可得|(2mh3m)(3m)|4m,解得h±2,從而得拋物線L2的對稱軸為x±2.

試題解析:(1)y=-x24x3可得A的坐標(biāo)為(2,1),

x4代入y=-x24x3,得y=-3,B的坐標(biāo)為(4,-3),

設(shè)拋物線L2的解析式為ya(x4)23; (2,1)代入ya(x4)23,

1a(24)23,解得a1,

∴拋物線L2的表達(dá)式為y(x4)23;

(2)a1=-a2,理由如下:

∵拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線L1上,

∴可列方程組: ,

整理,得(a1a2)(mh)20,

∵伴隨拋物線的頂點(diǎn)不重合,∴m≠h,a1=-a2;

(3)拋物線L1ymx22mx3m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4m),

設(shè)拋物線L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h,則其縱坐標(biāo)為mh22mh3m,

∴拋物線L2的表達(dá)式為y=-m(xh)2mh22mh3m

化簡得,y=-mx22mhx2mh3m

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2mh3m),

又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3m),

可得|(2mh3m)(3m)|4m解得h±2,

∴拋物線L2的對稱軸為x±2.

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