Question

（2013•上海）在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)QP（如圖）．已知AD=13，AB=5，設(shè)AP=x，BQ=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)以AP長(zhǎng)為半徑的⊙P和以QC長(zhǎng)為半徑的⊙Q外切時(shí)，求x的值；
（3）點(diǎn)E在邊CD上，過(guò)點(diǎn)E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF=EC=4，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；注意求x的取值范圍時(shí)，需考慮計(jì)算x最大值與最小值的情形；
（2）如答圖1所示，利用相外切兩圓的性質(zhì)，求出PQ的長(zhǎng)；利用垂直平分線的性質(zhì)PQ=BQ，列方程求出x的值；
（3）如答圖2所示，關(guān)鍵是證明△CEQ∽△ABP，據(jù)此列方程求出x的值．

解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP²=AP²+AB²=x²+25．
∵M(jìn)Q是線段BP的垂直平分線，
∴BQ=PQ，BM=

1

2

BP，∠BMQ=90°，
∴∠MBQ+∠BQM=90°，
∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，
又∵∠A=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△MQB，
∴

BP

BQ

=

AP

BM

，即

BP

y

=

x

1 2 BP

，化簡(jiǎn)得：y=

1

2x

BP²=

1

2x

（x²+25）．
當(dāng)點(diǎn)Q與C重合時(shí)，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ²=QD²+PD²，即13²=5²+（13-x）²，解得x=1；
又AP≤AD=13，∴x的取值范圍為：1≤x≤13．
∴y=

1

2x

（x²+25）（1≤x≤13）．

（2）當(dāng)⊙P與⊙Q相外切時(shí)，如答圖1所示：

設(shè)切點(diǎn)為M，則PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC-BQ）=x+（13-y）=13+x-y；
∵PQ=BQ，
∴13+x-y=y，即2y-x-13=0
將y=

1

2x

（x²+25）代入上式得：

1

x

（x²+25）-x-13=0，
解此分式方程得：x=

25

13

，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

25

13

是原方程的解且符合題意．
∴x=

25

13

．

（3）按照題意畫出圖形，如答圖2所示，連接QE．

∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分線性質(zhì)）．
∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，
而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性質(zhì)），∴∠1=∠3．
又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，
∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，
∴△CEQ∽△ABP，
∴

CQ

AP

=

EC

AB

，即

13-y

x

=

4

5

，化簡(jiǎn)得：4x+5y=65，
將y=

1

2x

（x²+25）代入上式得：4x+

5

2x

（x²+25）=65，
解此分式方程得：x=

65±10 26

13

，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

65±10 26

13

是原方程的解且符合題意，
∴x=

65±10 26

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，難度較大．試題的難點(diǎn)在于：其一，所考查的知識(shí)點(diǎn)眾多，包括相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、圓的位置關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、解分式方程與一元二次方程等，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求很高；其二，試題計(jì)算量較大，需要仔細(xì)認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)．