已知點A,B分別是兩條平行線m,n上任意兩點,C是直線n上一點,且∠ABC=90°,點E在AC的延長線上,BC=kAB (k≠0).
(1)當k=1時,在圖(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF交直線m于點F.寫出線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)若k≠1,如圖(2),∠BEF=∠ABC,其它條件不變,探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
分析:(1)在直線m上截取AM=AB,連接M,易證△MAE≌△BAE,則EM=EB,再根據(jù)等角對等邊即可證明EM=EF,從而求證;
(2)過點E作EM⊥m,可以證明四邊形MENA為矩形,進而即可證明△MEF∽△NEB,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可證得.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)正確畫出圖形,
EF=EB.
證明:如圖(1),在直線m上截取AM=AB,連接ME.
BC=kAB,k=1,
∴BC=AB,
∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
∵m∥n,
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,
∠FAB=90°,
∵AE=AE,
∴△MAE≌△BAE,
∴EM=EB,∠AME=∠ABE,
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠FAB+∠BEF=180°,
∴∠ABE+∠EFA=180°,
又∵∠AME+∠EMF=180°,
∴∠EMF=∠EFA,
∴EM=EF,
∴EF=EB;

(2)EF=
1
k
EB.
說明:如圖(2),過點E作EM⊥m,精英家教網(wǎng)EN⊥AB,垂足為M,N,
∴∠EMF=∠ENA=90°,
∵m∥n,∠ABC=90°,
∴∠MAB=90°,
∴四邊形MENA為矩形,
∴ME=NA,∠MEN=90°,
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠MEF=∠NEB,
∴△MEF∽△NEB,
ME
EN
=
EF
EB

AN
EN
=
EF
EB
,
在Rt△ANE和Rt△ABC中,
tan∠BAC=
EN
AN
=
BC
AB
=k,
∴EF=
1
k
EB.
點評:本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),以及矩形的判定,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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EB的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
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