Question

如圖，直線l：y=

3

4

x+3交x軸于A，交y軸于B．O為坐標(biāo)原點．點P為l上一動點，Q為坐標(biāo)軸上一動點，X為O、A、B中任意選取一點．當(dāng)△PQX與△AOB全等時，寫出P點坐標(biāo)（不要計算過程，但要在圖中有痕跡）．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：分類討論：（1）△PQA≌△AOB；（2）△PQB≌△AOB；（3）點P和點A重合，△PQO≌△AOB；（4）點P和點B重合，△PQO≌△AOB；分別作出圖形，即可求得點P坐標(biāo)，即可解題．

解答：解：（1）△PQA≌△AOB；如圖1，分3種情況：

①∠AP'Q'=90°，
∵

AP′=AO ∠P′AQ′=∠BAO AQ′=AB

，
∴△PQA≌△AOB，（SAS）
∴AP'=OA=4，
∵∠BAO=∠P'AQ'，
∴cos∠P'AQ'=

4

5

，sin∠P'AQ'=

3

5

，
作P'H⊥x軸，則AH=AP'•cos∠PAQ=

16

5

，P'H=AP'•cos∠PAQ=

12

5

，
∴點P'坐標(biāo)（-

36

5

，-

12

5

）；
②∠AQP=90°，
∵

AP=BA ∠PAQ=∠BAO AQ=AO

，
∴△PQA≌△AOB，（SAS）
∴AQ=OA=4，PQ=3，
∴點P坐標(biāo)（-8，-3）；
③∠AP''Q''=90°，
∵

AB=AQ″ ∠P″AQ″=∠BAO AO=AP″

，
∴△PQA≌△AOB，（SAS）
∴AP''=OA=4，P''Q''=3，
P''G=AP''•sin∠BAO=

12

5

，AG=AP''•cos∠BAO=

16

5

，
∴OG=

4

5

，
∴點P坐標(biāo)（-

4

5

，

12

5

）；
（2）△PQB≌△AOB；如圖2，

①∠BPQ=90°，
∵

AB=BP′ ∠ABO=∠P′BQ′ OB=OQ′

，
∴△PQB≌△AOB（SAS）
∴BP=OB=3，PQ=4，
作PS⊥y軸，
∵∠ABO=∠PBS，
∴cos∠PBS=

3

5

，sin∠PBS=

4

5

，
則BS=BP•cos∠PBS=

9

5

，
PS=BP•sin∠PBS=

12

5

，
∴點P坐標(biāo)（

12

5

，

24

5

）；
②∠BQ'P'=90°，
∵

BO=PB ∠PBQ=∠ABO BQ=BO

，
∴△PQB≌△AOB，（SAS）
∴BQ'=OB=3，P'Q'=4，
∴點P坐標(biāo)（4，6）；
（3）點P和點A重合，△PQO≌△AOB；如圖3，

∵∠AOQ=90°，
∵

AO=AO ∠AOB=∠AOQ OB=OQ

，
∴△PQO≌△AOB，（SAS）
∴AO=PB，OQ=OB，
∴點P坐標(biāo)（-4，0）；
（4）點P和點B重合，△PQO≌△AOB；如圖4，

∵∠POQ=90°，
∵

AO=OQ ∠AOB=∠BOQ BO=BO

，
∴△PQO≌△AOB，（SAS）
∴AO=OQ，OQ=OP，
∴點P坐標(biāo)（0，3）；
綜上所述，P點坐標(biāo)為（-

36

5

，-

12

5

）、（-8，-3）、（-

4

5

，

12

5

）、（

12

5

，

24

5

）、（4，6）、（-4，0）、（0，3）．

點評：本題考查了圖形結(jié)合解題的能力，考查了一次函數(shù)于坐標(biāo)軸交點的求解，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中分類討論P點位置是解題的關(guān)鍵．