【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB=3cm,BC=4cm,點E是BC上一點,且CE=1cm.點P由點C出發(fā),沿CD方向向點D勻速運(yùn)動,速度為1cm/s;點Q由點A出發(fā),沿AD方向向點D勻速運(yùn)動,速度為cm/s,點P,Q同時出發(fā),PQ交BD于F,連接PE,QB,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0<t<3).
(1)當(dāng)t為何值時,PE∥BD?
(2)設(shè)△FQD的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)是否存在某一時刻t,使得四邊形BQPE的周長最小.若存在,求出此四邊形BQPE的面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)t=;(2);(3)存在,四邊形BQPE的周長的最小值為3+.
【解析】
(1)當(dāng)時,PE∥BD,由此構(gòu)建方程即可解決問題.
(2)作FH⊥DQ.首先證明QF∥OA,△QDF是等腰三角形,求出FH即可解決問題.
(3)如圖2中,作B關(guān)于直線AD的對稱點B′,點E關(guān)于直線CD的對稱點E′,連接B′E′交AD于Q,交CD于P,連接BQ,PE.此時BQ+QP+PE+BE的值最。
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3,AD=BC=4,∠BAD=90°,
,
,
當(dāng)時,,
,
∴t=s時,PE∥BC.
(2)如圖1中,作FH⊥DQ.
,,
,,
,
∴FQ∥OA,
∴∠FQD=∠OAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠FDQ=∠FQD,
∴FQ=FD,∵FH⊥DQ,
,
,
,
,
∴.
(3)如圖2中,作B關(guān)于直線AD的對稱點B′,點E關(guān)于直線CD的對稱點E′,連接B′E′交AD于Q,交CD于P,連接BQ,PE.
∵BQ+QP+PE+BE=B′Q+QP+PE′+BE=B′E′+BE=B′E′+3,
∴此時BQ+QP+PE+BE的值最小,
,
∴四邊形BQPE的周長的最小值為3+.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=8,AD=17,折疊紙片使點B落在邊AD上的E處,折痕為PQ.當(dāng)E在AD邊上移動時,折痕的端點P,Q也隨著移動.若限定P,Q分別在邊BA,BC上移動,則點E在邊AD上移動的最大距離為( 。
A.6B.7C.8D.9
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【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=56°,點E,F分別在BD,AD上,當(dāng)AE+EF的值最小時,則∠AEF=___度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點P在邊AB上,點D、Q分別為邊BC上的點,線段AD的延長線與線段PQ的延長線交于點F,連接CP交AF于點E,若∠BPF=∠APC,FD=FQ.
(1)如圖1,求證:AF⊥CP;
(2)如圖2,作∠AFP的平分線FM交AB于點M,交BC于點N,若FN=MN,求證:;
(3)在(2)的條件下,連接DM、MQ,分別交PC于點G、H,求的值.
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【題目】《中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn):90分及以上為優(yōu)秀;80分~89分為良好;60分~79分為及格;60分以下為不及格.某校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康情況,從八年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了10%的學(xué)生進(jìn)行了體質(zhì)測試,并將測試數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計圖.請根據(jù)相關(guān)信息解答下面的問題:
(1)扇形統(tǒng)計圖中,“優(yōu)秀”等級所在扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(2)求參加本次測試學(xué)生的平均成績;
(3)若參加本次測試“良好”及“良好”以上等級的學(xué)生共有35人,請你估計全校八年級“不及格”等級的學(xué)生大約有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,小明家住在30米高的A樓里,小麗家住在B樓里,B樓坐落在A樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?/span>12時太陽光線與水平面的夾角為30°.
(1)如果A、B兩樓相距16米,那么A樓落在B樓上的影子有多長?
(2)如果A樓的影子剛好不落在B樓上,那么兩樓的距離應(yīng)是多少米?(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B處的仰角為45°、底部C處的俯角為65°,此時航拍無人機(jī)A處與該建筑物的水平距離AD為80米.求該建筑物的高度BC(精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin65°=0.91,cos65°=0.42,tan65°=2.14)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,經(jīng)過原點O的拋物線(a≠0)與x軸交于另一點A(,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B(2,t).
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C,滿足以B,O,C為頂點的三角形的面積為2,求點C的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點M在這條拋物線上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的條件下,是否存在點P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將大小相同的正三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個圖案中有6個小三角形和1個正六邊形;第②個圖案中有10個小三角形和2個正六邊形;第③個圖案中有14個小三角形和3個正六邊形;…;按此規(guī)律排列下去,已知一個小三角形的面積為a,一個正六邊形的面積為b,則第⑧個圖案中所有的小三角形和正六邊形的面積之和為____________.(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)
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