Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C、D分別為OA、OB的中點，CF⊥AB，ED⊥AB，點E、F都在⊙O上，求證：
（1）CF=DE； 
（2）

AF

=

EF

=

BE

；
（3）AE=2CF．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OC、OE，根據(jù)半徑相等得到OC=OD，OF=OE，則根據(jù)“HL”可判斷Rt△OCF≌Rt△ODE，所以CF=DE；
（2）由于OC=

1

2

OF，則∠CFO=30°，易得到∠AOF=∠FOE=∠EOB=60°，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到

AF

=

EF

=

BE

；
（3）由OE=OA得∠A=∠OEA，根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠DOE=∠A+∠OEA=60°，則∠A=30°，所以AE=2DE，于是得到AE=2CF．

解答：證明：（1）連結(jié)OC、OE，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，C、D分別為OA、OB的中點，
∴OC=OD，
而OF=OE，
∴Rt△OCF≌Rt△ODE，
∴CF=DE；

（2）在Rt△OC中，OC=

1

2

OF，
∴∠CFO=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠DOF=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD，
∴

AF

=

EF

=

BE

；

（3）∵OE=OA，
∴∠A=∠OEA，
∵∠DOE=∠A+∠OEA=60°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE，
∴AE=2CF．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、圓周角定理以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．