【題目】ABC中,AB=AC,BAC=100°,點(diǎn)D在BC邊上,ABD和AFD關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng),FAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)G,連接FG.

(1)求DFG的度數(shù);

(2)設(shè)BAD=θ,

當(dāng)θ為何值時(shí),DFG為等腰三角形;

DFG有可能是直角三角形嗎?若有,請(qǐng)求出相應(yīng)的θ值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)80°;(2)10°,25°或40°;5°或45°.

【解析】

試題分析:(1)由軸對(duì)稱(chēng)可以得出ADB≌△ADF,就可以得出B=AFD,AB=AF,在證明AGF≌△AGC就可以得出AFG=C,就可以求出DFG的值;

(2)當(dāng)GD=GF時(shí),就可以得出GDF80°,根據(jù)ADG=40+θ,就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出結(jié)論;當(dāng)DF=GF時(shí),就可以得出GDF=50°,就有40°+50°+40°+2θ=180°,當(dāng)DF=DG時(shí),GDF=20°,就有40°+20°+40°+2θ=180°,從而求出結(jié)論;

由已知條件可以得出DFG=80°,當(dāng)GDF=90°時(shí),就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出結(jié)論,當(dāng)DGF=90°時(shí),就有GDF=10°,得出40°+10°+40°+2θ=180°求出結(jié)論.

試題解析:(1)AB=AC,BAC=100°,

∴∠B=C=40°.

∵△ABD和AFD關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng),

∴△ADB≌△ADF,

∴∠B=AFD=40°,AB=AFBAD=FAD=θ,

AF=AC.

AG平分FAC,

∴∠FAG=CAG.

AGF和AGC中,

AF=AC,FAG=CAG,AG=AG,

∴△AGF≌△AGC(SAS),

∴∠AFG=C.

∵∠DFG=AFD+AFG,

∴∠DFG=B+C=40°+40°=80°.

答:DFG的度數(shù)為80°;

(2)當(dāng)GD=GF時(shí),

∴∠GDF=GFD=80°.

∵∠ADG=40°+θ,

40°+80°+40°+θ+θ=180°,

θ=10°.

當(dāng)DF=GF時(shí),

∴∠FDG=FGD.

∵∠DFG=80°,

∴∠FDG=FGD=50°.

40°+50°+40°+2θ=180°,

θ=25°.

當(dāng)DF=DG時(shí),

∴∠DFG=DGF=80°,

∴∠GDF=20°,

40°+20°+40°+2θ=180°,

θ=40°.

當(dāng)θ=10°,25°或40°時(shí),DFG為等腰三角形;

當(dāng)GDF=90°時(shí),

∵∠DFG=80°,

40°+90°+40°+2θ=180°,

θ=5°.

當(dāng)DGF=90°時(shí),

∵∠DFG=80°,

∴∠GDF=10°,

40°+10°+40°+2θ=180°,

θ=45°

當(dāng)θ=5°或45°時(shí),DFG為直角三角形.

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