Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸的交點分 別為，將對折，使點的對應(yīng)點落在直線上，折痕交軸于點

（1）直接寫出點的坐標，并求過三點的拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為，在直線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線的交點為為線段上一點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

解：（1）點C的坐標為.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分

∵ 點A、B的坐標分別為，

            ∴ 可設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為.   

            將代入拋物線的解析式，得. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分

            ∴ 過A、B、C三點的拋物線的解析式為.- - - - - - - - - - - - -3分

（2）可得拋物線的對稱軸為，頂點D的坐標為   

，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.

直線BC的解析式為.- - - - - - - - - - 4分

設(shè)點P的坐標為.

解法一：如圖8，作OP∥AD交直線BC于點P，

連結(jié)AP，作PM⊥x軸于點M.

∵ OP∥AD，

∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.

  ∴ ，即.

  解得.  經(jīng)檢驗是原方程的解.

  此時點P的坐標為. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分

但此時，OM＜GA.

  ∵

      ∴ OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，

      ∴ 直線BC上不存在符合條件的點P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分

            解法二：如圖9，取OA的中點E，作點D關(guān)于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于

點N. 則∠PEO=∠DEA，PE=DE.

可得△PEN≌△DEG ．

由，可得E點的坐標為.

NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.

∴ 點P的坐標為. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分

∵ x=時，，

∴ 點P不在直線BC上.

                   ∴ 直線BC上不存在符合條件的點P .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分

 

（3）的取值范圍是. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分