Question

觀察下列圖形，回答問題：
問題（1）：若圖①中的△DEF為直角三角形，正方形P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為

24

．
問題（2）：如圖②，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，這三個半圓的面積之間的關系是

S₁+S₂=S₃

（用圖中字母表示）
問題（3）：如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，請你利用上面中的結論求出陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的面積公式結合勾股定理就可發(fā)現大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（2）分別表示出S₁、S₂、S₃，結合勾股定理即可得出關系式．
（3）根據半圓的面積公式以及勾股定理就可發(fā)現：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積，從而得出陰影部分的面積=直角三角形的面積．

解答：解：（1）由題意得，P=DE²=9，Q=EF²=15，
故可得M=DF²=DE²+EF²=24．
（2）S₁=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₃=

π

8

AB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．
（3）設直角三角形的邊從小到大分別是a，b，c，則a²+b²=c²，兩邊同除以

π

8

，
即得：兩小半圓的面積和等于大半圓的面積，
從而可得S_{陰影部分的面積}=S_{直角三角形的面積}=

1

2

×3×4=6．

點評：本題考查了勾股定理及圓的面積公式，解答此類題目關鍵是仔細觀察所給圖形的特點，不要盲目作答．