【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線的頂點是A(1,3),將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OB,點B恰好在拋物線上,OB與拋物線的對稱軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是線段AC上一動點,且不與點A,C重合,過點P作平行于x軸的直線,與的邊分別交于M,N兩點,將以直線MN為對稱軸翻折,得到.
設點P的縱坐標為m.
①當在內(nèi)部時,求m的取值范圍;
②是否存在點P,使,若存在,求出滿足m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】;(2)①;②存在,滿足m的值為或.
【解析】
(1)作AD⊥y軸于點D,作BE⊥x軸于點E,然后證明△AOD≌△BOE,則AD=BE,OD=OE,即可得到點B的坐標,然后利用待定系數(shù)法,即可求出解析式;
(2)①由點P為線段AC上的動點,則討論動點的位置是解題的突破口,有點P與點A重合時;點P與點C重合時,兩種情況進行分析計算,即可得到答案;
②根據(jù)題意,可分為兩種情況進行當點M在線段OA上,點N在AB上時;當點M在線段OB上,點N在AB上時;先求出直線OA和直線AB的解析式,然后利用m的式子表示出兩個三角形的面積,根據(jù)等量關系列出方程,解方程即可求出m的值.
解:(1)如圖:作AD⊥y軸于點D,作BE⊥x軸于點E,
∴∠ADO=∠BEO=90°,
∵將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OB,
∴OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,
∴∠AOD=∠BOE,
∴△AOD≌△BOE,
∴AD=BE,OD=OE,
∵頂點A為(1,3),
∴AD=BE=1,OD=OE=3,
∴點B的坐標為(3,),
設拋物線的解析式為,
把點B代入,得
,
∴,
∴拋物線的解析式為,
即;
(2)①∵P是線段AC上一動點,
∴,
∵當在內(nèi)部時,
當點恰好與點C重合時,如圖:
∵點B為(3,),
∴直線OB的解析式為,
令,則,
∴點C的坐標為(1,),
∴AC=,
∵P為AC的中點,
∴AP=,
∴,
∴m的取值范圍是;
②當點M在線段OA上,點N在AB上時,如圖:
∵點P在線段AC上,則點P為(1,m),
∵點與點A關于MN對稱,則點的坐標為(1,2m3),
∴,,
設直接OA為,直線AB為,
分別把點A,點B代入計算,得
直接OA為;直線AB為,
令,
則點M的橫坐標為,點N的橫坐標為,
∴;
∵;
;
又∵,
∴,
解得:或(舍去);
當點M在邊OB上,點N在邊AB上時,如圖:
把代入,則,
∴,,
∴,
,
∵,
∴,
解得:或(舍去);
綜合上述,m的值為:或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為報答當年5.12汶川地震各地的馳援深情,四川某農(nóng)產(chǎn)品公司決定將本公司農(nóng)業(yè)基地生產(chǎn)的蔬菜水果全部運到湖北武漢,支援武漢人民抗擊新冠疫情.為了運輸?shù)姆奖,將蔬菜和水果分別打包成件,蔬菜和水果共260件,蔬菜比水果多40件.
(1)求打包成件的蔬菜和水果各多少件?
(2)現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛,一次性將這批物資全部運往武漢.已知甲種貨車最多可裝蔬菜30件和水果13件,乙種貨車最多可裝蔬菜和水果各15件.如果甲種貨車每輛需付運輸費3000元,乙種貨車每輛需付運輸費2400元.則公司安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案?并說明公司選擇哪種方案可使運輸費最少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】王芳同學到文具店購買中性筆和筆記本,中性筆每支1元,筆記本每本3元,王芳同學現(xiàn)有10元錢,則可供她選擇的購買方案的個數(shù)為(兩樣都買,余下的錢少于1元)( )
A.2B.3C.4D.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們把分子為1的分數(shù)叫做單位分數(shù),如:,,,任何一個單位分數(shù)都可以拆分成兩個不同的單位分數(shù)的和,如“=+”,“=+”……
(1)根據(jù)對上述式子的觀察,你會發(fā)現(xiàn).=·請將問題中的空格補充完整.
(2)進一步思考,單位分數(shù)(n是不小于2的正整數(shù)),請寫出■和●所表示的代數(shù)式,并對你的結(jié)論進行驗證.
(3)請用(2)中你找出的規(guī)律解方程
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,為坐標原點,拋物線分別交軸正半軸于點,交軸負半軸于點,與軸負半軸交于點,且.
(1)如圖1,求的值;
(2)如圖,是第一象限拋物線上的點,連,過點作軸,交的延長線于點,連接交于點,若,求點的坐標以及的值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接,是第一象限拋物線上的點(點與點不重合),過點作的垂線,交軸于點,點在軸上(點在點的左側(cè)),,點在直線上,連接、.若,,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C(0,﹣3),頂點D的坐標為(1,﹣4).
(1)求拋物線的解析式.
(2)在y軸上找一點E,使得△EAC為等腰三角形,請直接寫出點E的坐標.
(3)點P是x軸上的動點,點Q是拋物線上的動點,是否存在點P、Q,使得以點P、Q、B、D為頂點,BD為一邊的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P、Q坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰中,,為邊上的高,分別為邊上的點,將分別沿折疊,使點落在的延長線上點處,點落在點處,連接,若,則的長是_________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】人字折疊梯完全打開后如圖1所示,B,C是折疊梯的兩個著地點,D是折疊梯最高級踏板的固定點.圖2是它的示意圖,AB=AC,BD=140cm,∠BAC=40°,求點D離地面的高度DE.(結(jié)果精確到0.1cm;參考數(shù)據(jù)sin70°≈0. 94,cos70°≈0.34,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓,∠ABC的平分線交⊙O于點D,過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AB=25,BC=,求DE的長.
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