Question

【題目】已知A(m,n),且滿足m-2+(n-2)2=0,過(guò)A作AB⊥y軸,垂足為B.

(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖1,分別以AB,AO為邊作等邊△ABC和△AOD,試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,過(guò)A作AE⊥x軸,垂足為E,點(diǎn)F、G分別為線段OE、AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) (不與端點(diǎn)重合),滿足∠FBG=45°,設(shè)OF=a,AG=b,FG=c,試探究的值是 否為定值?如果是,直接寫出此定值:如果不是,請(qǐng)舉例說(shuō)明.

Answer 1

【答案】（1）A（2，2）；（2）AC＝CD，AC⊥CD，理由見解析；（3）定值為0，

【解析】試題分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得m、n的值；

（2）連接OC，由AB=BO知∠BAO=∠BOA=45°，由△ABC，△OAD為等邊三角形知∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°、OA=OD，繼而由∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC得∠DAC=∠BAO=45°，根據(jù)OB=CB=2、∠OBC=30°知∠BOC=75°，∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∠DOC=∠AOC=30°，證△OAC≌△ODC得AC=CD，再根據(jù)∠CAD=∠CDA=45°知∠ACD=90°，從而得AC⊥CD；

（3）在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M，使得OM=AG=b，連接BG，先證△BAG≌△BOM得∠OBM=∠ABG、BM=BG，結(jié)合∠FBG=45°知∠ABG+∠OBF=45°，從而得∠OBM+∠OBF=45°，∠MBF=∠GBF，再證△MBF≌△GBF得MF=FG，即a+b=c，代入原式可得答案．

試題解析：（1）由題得m=2，n=2，

∴A（2，2）；

（2）如圖1，連結(jié)OC，

由（1）得AB=BO=2，

∴△ABO為等腰直角三角形，

∴∠BAO=∠BOA=45°，

∵△ABC，△OAD為等邊三角形，

∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°，OA=OD

∴∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC

即∠DAC=∠BAO=45°

在△OBC中，OB=CB=2，∠OBC=30°，

∴∠BOC=75°，

∴∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，

∴∠DOC=∠AOC=30°，

在△OAC和△ODC中，

∵，

∴△OAC≌△ODC，

∴AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA=45°，

∴∠ACD=90°，

∴AC⊥CD；

（3）如圖，在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M，使得OM=AG=b，連接BG，

在△BAG和△BOM中，

∵，

∴△BAG≌△BOM

∴∠OBM=∠ABG，BM=BG

又∠FBG=45°

∴∠ABG+∠OBF=45°

∴∠OBM+∠OBF=45°

∴∠MBF=∠GBF

在△MBF和△GBF中，

∵，

∴△MBF≌△GBF

∴MF=FG

∴a+b=c代入原式=0．