Question

如圖，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射線l過點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸正半軸上動點(diǎn)，滿足∠PQO＝60°．

(1)①點(diǎn)B的坐標(biāo)是________；②∠CAO＝________度；③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________；(直接寫出答案)

(2)設(shè)OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；若不存在，請說明理由．

(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)，③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)； 　　(2)分別從MN＝AN，AM＝AN與AM＝MN去分析求解即可求得答案； 　　(3)分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案． 　　解答：解：(1)①∵四邊形OABC是矩形， 　　∴AB＝OC，OA＝BC， 　　∵A(6，0)、C(0，2)， 　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(6，2)； 　�、凇遲an∠CAO＝＝＝， 　　∴∠CAO＝30°； 　�、廴缦聢D：當(dāng)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E， 　　∵∠PQO＝60°，D(0，3)， 　　∴PE＝3， 　　∴AE＝＝3， 　　∴OE＝OA－AE＝6－3＝3， 　　∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3)； 　　故答案為：①(6，2)，②30，③(3，3)； 　　(2)情況①：MN＝AN＝3， 　　則∠AMN＝∠MAN＝30°， 　　∴∠MNO＝60°， 　　∵∠PQO＝60°， 　　即∠MQO＝60°， 　　∴點(diǎn)N與Q重合， 　　∴點(diǎn)P與D重合， 　　∴此時(shí)m＝0， 　　情況②，如圖AM＝AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸； 　　MJ＝MQ·sin60°＝AQ·sin60°＝(OA－IQ－OI)·sin60°＝(3－m)＝AM＝AN＝， 　　可得(3－m)＝， 　　解得：m＝3－， 　　情況③AM＝NM，此時(shí)M的橫坐標(biāo)是4.5， 　　過點(diǎn)P作PK⊥OA于K，過點(diǎn)M作MG⊥OA于G， 　　∴MG＝， 　　∴QK＝＝＝3，GQ＝＝， 　　∴KG＝3－0.5＝2.5，AG＝AN＝1.5， 　　∴OK＝2， 　　∴m＝2， 　　(3)當(dāng)0≤x≤3時(shí)， 　　如圖，OI＝x，IQ＝PI·tan60°＝3，OQ＝OI＋I(xiàn)Q＝3＋x； 　　由題意可知直線l∥BC∥OA， 　　可得， 　　EF＝(3＋x)， 　　此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為： 　　S梯形＝(EF＋OQ)·OC＝(3＋x)， 　　當(dāng)3＜x≤5時(shí)，S＝S梯形－S△HAQ＝S梯形－AH·AQ＝(3＋x)－(x－3)2， 　　當(dāng)5＜x≤9時(shí)，S＝(BE＋OA)·OC＝(12－x)， 　　當(dāng)9＜x時(shí)，S＝OA·AH＝． 　　點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．

提示：

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；梯形；解直角三角形．