(2005•漳州)如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)N(2,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)D,試證明四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸x=1上運(yùn)動(dòng),請?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點(diǎn),使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意中,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與N的坐標(biāo),可得拋物線的解析式,進(jìn)而可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)分別求出過DM的直線,與過點(diǎn)AN的直線方程,可得DM與AN平行,且易得DM與AN相等;故四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)首先假設(shè)存在,根據(jù)題意,題易得:△MDE為等腰直角三角形,進(jìn)而可求得P的坐標(biāo),故存在P.
解答:(1)解:由拋物線的頂點(diǎn)是M(1,4),
設(shè)解析式為y=a(x-1)2+4(a<0)
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)N(2,3),
所以3=a(2-1)2+4,
解得a=-1
所以所求拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,
得A(-1,0)B(3,0);
令x=0,得y=3,
所以C(0,3).

(2)證明:直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn),
所以
即k=1,t=3,
直線解析式為y=x+3.
令y=0,得x=-3,
故D(-3,0),即OD=3,又OC=3,
∴在直角三角形COD中,根據(jù)勾股定理得:CD==
連接AN,過N做x軸的垂線,垂足為F.
設(shè)過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為y=mx+n,
,
解得m=1,n=1
所以過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為y=x+1
所以DC∥AN.在Rt△ANF中,AF=3,NF=3,
所以AN=
所以DC=AN.
因此四邊形CDAN是平行四邊形.

(3)解:假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn),使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切,
設(shè)P(1,u)其中u>0,
則PA是圓的半徑且PA2=u2+22過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切.
由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,
由P(1,u)得PE=u,PM=|4-u|,PQ=
由PQ2=PA2得方程:=u2+22,
解得,舍去負(fù)值u=,符合題意的u=
所以,滿足題意的點(diǎn)P存在,其坐標(biāo)為(1,).
點(diǎn)評:本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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